磁悬浮轴承转子不平衡质量控制：陷波滤波器深度解析

在磁悬浮轴承高速旋转的世界里，不平衡质量如同一个无形的幽灵，引发危险的同步振动，而陷波滤波器，正是精准捕获并消除这个幽灵的“电磁猎手”。本文将深入剖析其核心原理与实战设计。

引言：同步振动的致命诱惑

磁悬浮轴承（AMB）的革命性优势使其在高速电机、飞轮储能、离心压缩机等领域大放异彩。然而，转子微小的质量分布不均（不平衡质量）在高速旋转时产生的周期性离心力（1X振动），如同一个顽固的幽灵，时刻威胁着系统的稳定运行。传统的PID控制虽能提供基础稳定，但对特定频率（转速频率）的振动抑制效率低下且易损害鲁棒性。陷波滤波器（Notch Filter）凭借其精准的频率选择性与可控的衰减特性，成为抑制磁悬浮轴承转子不平衡振动最常用、最核心的技术手段。本文将深入探讨其工作原理、设计精髓、实现陷阱及工程应用。

一、陷波滤波器：原理与核心作用

陷波的本质：选择性频率衰减器
- 目标： 在闭环控制系统的反馈回路（或前馈通道）中，深度且精准地衰减转子转速频率 f_n（ω_n = 2πf_n）及其附近窄带内的信号分量。
- 物理意义： 削弱位移传感器信号中由不平衡力引起的强同步振动分量，阻止其进入控制器产生强激励电流，从而打破“振动-激励-更大振动”的恶性循环。
- 核心效果： 显著降低转子在几何中心（RC）附近振动的同步分量（1X）幅值，减小位移峰峰值。
传递函数：数学描述与物理含义
标准二阶陷波滤波器的传递函数为：
$G_{notch}(s) = \frac{s^2 + 2\zeta_1\omega_n s + \omega_n^2}{s^2 + 2\zeta_2\omega_n s + \omega_n^2}$
- ω_n：陷波中心频率 (rad/s)，必须精确等于或快速跟踪转子当前转速频率 ω。
- ζ1 (Zeta1)：控制陷波深度。
  - ζ1 越小 → 分子在 ω_n 处的幅值越小 → 陷波越深 → 对 ω_n 频率的衰减越强。
  - 代价： 过小的 ζ1 会导致陷波频率附近相位突变剧烈，严重威胁系统稳定性。
- ζ2 (Zeta2)：控制陷波宽度。
  - ζ2 越大 → 分母的阻尼越大 → 滤波器带宽越宽 → 陷波越宽 → 能覆盖转速波动范围。
  - 代价： 过宽的陷波会过度衰减 ω_n 附近的有用信号（如控制指令、其他频率的动态响应），降低系统动态性能，甚至影响稳定性。
- 频率响应特性：
  - 幅频特性： 在 ω_n 处形成一个尖锐的下陷（“陷波”），深度由 ζ1 决定，宽度（-3dB 带宽）由 ζ2 决定。ζ2 通常显著大于 ζ1。
  - 相频特性： 在 ω_n 附近引入显著的相位滞后（在 ω_n 处滞后接近 180°），这是影响控制效果和稳定性的关键因素。
在磁悬浮不平衡控制中的作用机制
- 放置在反馈回路：
  1. 位移传感器信号 y(t) 包含：几何中心位移 y_{rc}(t) + 不平衡振动引起的同步分量 y_{1X}(t) + 噪声。
  2. y(t) 经过陷波滤波器 G_{notch}(s)。
  3. y_{1X}(t) 分量被显著衰减，输出信号 y_{filt}(t) ≈ y_{rc}(t) + 残余噪声/振动。
  4. 控制器（如PID）接收 y_{filt}(t)，认为转子偏离几何中心的主要是 y_{rc}(t)。
  5. 控制器计算出的电流指令 I_c(t) 主要作用于抑制 y_{rc}(t)。
  6. 电磁力 F_c(t) 主要平衡除不平衡力以外的扰动力，避免过度激励同步振动。
  7. 转子实际绕几何中心旋转的振动幅度 y_{1X}(t) 显著减小。
- 放置在前馈通道： 较少用于不平衡抑制，更多用于抵消已知的周期性扰动（如电机齿槽转矩），需精确知道扰动特性和系统模型。

二、设计精髓：参数整定与稳定性保障

陷波滤波器的威力巨大，但使用不当极易“伤及自身”（系统失稳）。其设计是精度与稳定性的艺术平衡。

核心参数设计流程：
- 步骤1：确定中心频率ω_n
  - 实时性： ω_n 必须实时跟踪转子转速 ω。通常由驱动系统的编码器或霍尔信号实时获取转速信息 ω，计算 ω_n = ω (rad/s) 或 f_n = ω / (2π) (Hz)。
  - 精度： 转速测量精度直接影响陷波中心定位精度。误差过大会导致目标频率未被有效衰减。
- 步骤2：选择陷波深度 ζ1
  - 目标： 达到所需的同步振动衰减比（如降低20dB即振幅降为1/10）。
  - 约束：
    - 稳定性裕度： 过小的 ζ1 (如 <0.01) 导致深陷波，在 ω_n 处引入接近180°的剧烈相位滞后，严重影响系统的相位裕度(PM)，极易引发失稳。必须保证加入陷波器后，系统在 ω_n 处的开环相位滞后仍小于 (180° -PM_min)。
    - 噪声放大： 深陷波在通带(ω << ω_n 和 ω >> ω_n)会引入小幅增益，可能放大低频噪声或高频未建模动态。
  - 工程建议： 初始值取 0.02~0.05，通过仿真和实验在稳定性允许范围内逐步减小以追求更好抑制效果。
- 步骤3：选择陷波宽度 ζ2
  - 目标： 覆盖预期的转速波动范围 Δω。
  - 约束：
    - 选择性： 过大的 ζ2 (如 >1.0) 导致宽陷波，不仅衰减 ω_n，还过度衰减其附近频率的有用信号（如转子刚体模态的动态响应、控制指令），降低系统动态性能，甚至影响稳定性（衰减了维持稳定所需的有用反馈信号）。
    - 鲁棒性： 足够宽的陷波能容忍一定的转速测量误差和系统参数变化。
  - 工程建议： 根据转速控制精度和波动范围选择。转速稳定时 ζ2=0.1~0.3；转速波动较大时 ζ2=0.5~1.0。陷波带宽 BW ≈ (ζ2 * ω_n) / π (Hz)。
- 步骤4：相位补偿
  - 问题： 陷波滤波器本身在ω_n 处引入接近180°滞后 + 系统本身（传感器、功放、电磁铁、控制器）在 ω_n 处存在固有相位滞后 φ_sys → 总滞后接近 180° + φ_sys。控制器输出的抵消力 F_c 的相位严重滞后于不平衡力 F_u，无法实现有效抵消（理想需180°反相），甚至可能同相叠加放大振动！
  - 解决方案： 在陷波滤波器后（或内部）串联一个相位超前补偿器。
    - 目标相位超前量： φ_lead ≈ 180° - φ_sys（在频率 ω_n 处）。
    - 常用补偿器： 一阶超前环节： $G_{lead}(s) = K \frac{s + z}{s + p}$ ，z < p，通过调整零点 z 和极点 p 的位置，使其在 ω_n 处提供所需的 φ_lead。
    - 设计方法：
      1. 测量或仿真得到系统开环传递函数在 ω_n 处的相位滞后 φ_sys。
      2. 计算需要补偿的相位量 φ_lead = 180° - φ_sys - θ_margin (θ_margin 为安全裕度，如5°~10°)。
      3. 利用公式 φ_{max} = \arcsin(\frac{p/z - 1}{p/z + 1}) 或根轨迹/Bode图设计工具确定 z 和 p，使 G_{lead}(jω_n) 的相角等于 φ_lead。
      4. 注意补偿器增益 K 的设置，避免引入不必要的增益变化。
稳定性分析：不可逾越的红线
- 方法： 将设计好的陷波滤波器（含相位补偿）加入闭环系统模型。
- 关键分析：
  - 开环伯德图(Bode Plot)： 重点关注 ω_n 附近和穿越频率处的幅值裕度(GM)和相位裕度(PM)。确保 GM > 6dB， PM > 30°（或更严格的指标）。特别注意 ω_n 处的相位“凹坑”是否导致PM过低。
  - 奈奎斯特图(Nyquist Plot)： 检查曲线是否包围 (-1, j0) 点？在 ω_n 附近曲线是否过于接近该点？
  - 闭环极点： 检查所有闭环极点是否严格位于左半平面（具有足够的阻尼比）。
- 迭代： 如果稳定性裕度不足，必须牺牲部分陷波性能（增大 ζ1 或 ζ2）或重新优化相位补偿，直至满足稳定性要求。稳定性永远优先于振动抑制性能！

三、从理论到芯片：实现关键点

离散化：
- 连续域设计的 G_{notch}(s) 和 G_{lead}(s) 需转换为离散域传递函数 H_{notch}(z) 和 H_{lead}(z)，以便在数字控制器(DSP/FPGA)中实时计算。
- 常用方法： 双线性变换(Tustin)、零阶保持(ZOH)匹配。双线性变换应用最广，能较好保持频率特性，但会引入频率畸变（需预畸变校正）。
- 离散传递函数形式：
- 差分方程实现 (实时计算)：
  - x[n]：当前输入采样（如位移传感器信号）。
  - y[n]：当前输出采样（滤波后信号）。
  - x[n-1], x[n-2], y[n-1], y[n-2]：历史数据（需存储）。
  - 系数 b0, b1, b2, a1, a2 由连续传递函数离散化得到。
实时性要求：
- 采样频率 f_s 必须远高于系统最高关注频率（通常 > 10倍最高转子工作频率或最高柔性模态频率），且远高于 ω_n。典型值在 kHz 级别（如 5kHz - 20kHz）。
- 陷波器中心频率ω_n 更新速率需足够快以跟踪转速变化，通常与控制周期同步。

四、进阶：自适应陷波器

应对转速频繁变化或不平衡量未知/缓慢变化的挑战。

原理：
- 核心思想： 陷波器参数（ω_n, ζ1, 甚至 ζ2）不再固定，而是根据实时转速和振动反馈信号自动调整。
- 频率跟踪： ω_n 严格跟随实时测量的转速 ω。
- 深度/宽度自适应： 监测转子振动信号（通常是位移传感器信号的1X分量幅值 A_{1X}）。通过自适应算法（如LMS梯度下降、RLS）调整 ζ1（有时也调 ζ2）：
  - 若 A_{1X} 过大 → 减小 ζ1（加深陷波）。
  - 若 A_{1X} 过小或系统稳定性指标（如相位裕度估计值）接近阈值 → 增大 ζ1（减小陷波深度，提升稳定性裕度）。
优势：
- 在变转速工况下保持最优抑制效果。
- 自动适应不平衡量的变化（如热变形导致的质心漂移）。
- 理论上可在保证稳定性的前提下，动态寻找最优的 ζ1。
挑战：
- 算法复杂度： 显著高于固定参数陷波器。
- 收敛性与稳定性： 自适应率（步长）选择至关重要。过大导致振荡发散；过小导致收敛缓慢。需要精心设计和验证。
- 实时计算负担： 对控制器性能要求更高。

五、工程实践：调试与效果

调试流程：
- 低速稳定： 确保基础PID控制下转子低速稳定悬浮。
- 注入陷波： 在目标工作转速区间内，逐步、谨慎地启用陷波器。
  - 初始参数：ζ1=0.05, ζ2=0.5 (保守值)。
  - 相位补偿先不启用或设置为0。
- 监测与调整：
  - 使用频谱分析仪或控制器内置FFT功能，实时监测转子位移频谱，观察1X分量幅值。
  - 缓慢减小 ζ1，观察1X幅值下降效果，同时严密监控时域波形、控制电流、稳定性裕度指标（如有实时计算）。一旦发现振动加剧（相位问题）或系统响应异常（失稳征兆），立即回退 ζ1。
  - 逐步启用并调整相位补偿器参数，目标是最大化1X分量的抑制效果（观察频谱1X分量最小化）。
  - 微调 ζ2：如果转速稳定，尝试减小 ζ2 以提升选择性；如果转速波动大或抑制效果不稳定，适当增大 ζ2。
- 全转速范围扫频： 在设计的转速范围内进行升速/降速测试，尤其关注穿越临界转速和 ω_n 变化时系统的稳定性和振动抑制效果。
效果评估：
- 系统在目标转速范围内 稳定运行，控制电流合理无饱和。
- 传递到基座的 1X 激振力大幅降低，设备整体振动和噪声减小。
- 位移频谱中 1X 分量幅值大幅衰减（降低20-40dB常见）。
- 转子位移时域波形 峰峰值显著降低，轨迹更圆。

结语

陷波滤波器是磁悬浮轴承解决转子不平衡质量有效方法，其核心在于精准的频率选择性衰减，精髓在于深度、宽度、相位补偿与系统稳定性的极致平衡。其传递函数背后的物理意义，参数整定与稳定性分析方法，离散化实现与调试技巧，是工程实践中成功应用的关键。自适应陷波技术的引入，进一步提升了其在变工况下的鲁棒性和适应性。