凸优化课程学习笔记（一）

课程：B站清华大学陈剑博士《凸优化基础理论与应用》

优化理论概述

1. 优化序论

定义：凸优化是一门应用极为广泛的学科，主要研究如何对决策问题进行最优选择，探讨最优解的性质，寻找高效的计算方法，并分析这些方法的理论基础与实际应用表现。

应用领域举例：

• 信息工程与设计
• 经济规划
• 生产管理
• 交通运输
• 国防工业
• 科学研究等

什么是优化问题？
优化问题是指在给定的约束条件下，从所有可行方案中选择一个最优（或满足某种极值条件的）方案。
典型的数学表达为：

minimize   f(x)
subject to x ∈ C

其中，f(x) 是目标函数，C 是约束条件所定义的可行域。

2. 优化模型的方法分类

3. 凸集

定义：
若集合 C 中任意两点 x₁, x₂，及任意实数 θ ∈ [0, 1]，有：

θ x₁ + (1 - θ) x₂ ∈ C

则称 C 为凸集。