1 标准差

我们经常使用平均数来大致了解一组数据，例如平均成绩、平均身高、平均寿命等等。但是如果只看平均数，不一定能充分了解整体情况。比如说你和某首富住同一个社区，你们社区平均每户年收入两千万，那么你家是有钱还是没钱？另外就是看到了平均工资，才知道自己“拖了后腿”——关于平均工资问题，在《机器学习数学基础》中有专门讨论，是否真的拖后腿了？通过统计学知识就能明了。

为了帮助我们更了解整体情况，需要更多统计量来进行描述。

其中一个统计量，就是用于描述数据的离散情况。换句话说，就是描述这组数据的所有数据，是很集中还是很分散。为了描述离散情况，首先想到的是：每一个数据离平均值有多远？如果对于数据 $X$ 里的每个数据 $x_i$ ，我们都将它减去平均数 ${\mu }_X$ ，然后再全部加起来，得到
$$\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X)=\sum _{i=1}^n{x}_i-\sum _{i=1}^n{\mu }_X=n{\mu }_X-n{\mu }_X=0$$
这就很有意思了，结果为 0。因为有些数据比平均值大，有些比平均值小，正负自然会相互抵消。为了避免这种情况，我们改为先取绝对值再相加
$$\sum _{i=1}^n|x_i-{\mu }_X|$$
这样就没有正负抵消的问题了。这个式子中的每一项，叫做离均差，意思是每个数据离平均值有多远。然而这样计算起来不太方便，大量绝对值相加是很难处理的。所以我们改为先把每个离均差都平方，然后再相加
$$\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2$$
可是这个式子，如果数据的项数越多，加起来的结果岂不是越大吗？比如说一个班的考试成绩，如果隔壁班和本班有完全一样的成绩分布，两班合并在一起计算，结果就会变成两倍，但离散情况并没有变化。为了消除数据数量 $n$ 的影响，我们再除以 $n$ ，变成计算离均差平方的平均
$$\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}$$
这个式子，适合用来描述离散情况，称为方差（variance）。但因为我们先进行了平方运算，所以这样算出的结果，单位会与原来的数据不一致。如果我们希望单位保持一致，就将方差再开根号：
$$\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}}$$
离均差平方的平均再开根号，这称为标准差（standard deviation）。为什么刚才说取绝对值相加比较不好算，平方后再相加却反而好算呢？我们可以将标准差定义中平方的部分展开：
$$\begin{array}{rl}\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}}& =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i^2-2{\mu }_X{x}_i+{\mu }_X^2)}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\sum _{i=1}^{n}2{\mu }_X{x}_i+\sum _{i=1}^n{\mu }_X^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2{\mu }_X\sum _{i=1}^n{x}_i+{\mu }_X^2\sum _{i=1}^{n}1}{n}}\text{与下标 i 无关的可提出}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2{\mu }_X(n{\mu }_X)+{\mu }_X^2\cdot n}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2n{\mu }_X^2+n{\mu }_X^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\mu }_X^2}{n}}=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}-{\mu }_X^2}\end{array}$$
这样便得到标准差的另一种公式，当我们只知道数据的平方和而不知道每一组数据的详细数值时，就可以使用这个公式。

注意

1. 方差的符号可以写成 $\text{Var}$ 或 ${\sigma }^2$ ，其公式为：

$${\sigma }^2=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}-{\mu }_X^2$$

2. 标准差的符号可以写成 $\sqrt{\text{Var}}$ 或 $\sigma$ ，其公式为：

$$\sigma =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}}=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}-{\mu }_X^2}$$

3. 方差可以理解为计算正方形面积的平均，如下图所示。数据离平均值越远，算出的正方形面积就越大，会使方差的结果更大。

图 1：方差的几何意义

4. 数据的平移不影响标准差，但伸缩会有影响。设 $Y=aX+b$，则：

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_Y& =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(y_i-{\mu }_Y{)}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{\left[(a{x}_i+b)-(a{\mu }_X+b)\right]}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{\left[a(x_i-{\mu }_X)\right]}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{a^2\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}}\\ & =\sqrt{a^2\cdot \frac{\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}}\\ & =|a|\cdot \sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-{\mu }_X{)}^2}{n}}\\ & =|a|{\sigma }_X\end{array}$$

5. 由方差的第二个式子移项，可得：
   $$\begin{array}{r}{\sigma }^2+{\mu }_X^2=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}\\ \sum _{i=1}^n{x}_i^2=n\left({\sigma }_X^2+{\mu }_X^2\right)\end{array}$$

这是一个实用的公式。

2 标准化

2 标准化

如果你上次数学考 70 分，这次考 50 分，那你是进步还是退步呢？当然，你的慈母很可能会不太高兴，竟然退步了 20 分！正当要执行家法时，你急忙抗辩：“等一下！上次数学全班平均 60 分，这次考试比较难，班级平均只有 40 分！我这两次都比平均高 10 分，应该不算退步吧！” 你的慈母听了觉得挺有道理，正当你松了口气时，一旁正在阅读《机器学习数学基础》（齐伟，电子工业出版社）的严父看不下去了：“这两次我都看过你班上的成绩单，上次标准差才 5 分，你比平均高两个标准差。这次标准差 10 分，你只比平均高一个标准差而已，所以你还是退步了。” 于是你还是被执行家法，然后好好学数学。你正生气觉得不理解，本来今天高高兴兴的，严父为什么要说这种话，这时刚好翻到《机器学习数学基础》上讲到数据的标准化，好像就和严父那番话有关系。

假设一种场景：小明身高 187 公分，家庭年收入 100 万元。因为小明并不帅，显然不是高富帅，但究竟说他高比较好，还是说他富比较好呢？身高和家庭年收入，显然是两种不同的数据，无法直接比较。但人性嘛，总想去比较，不能比也要比。于是采取相对比较的办法：小明班上平均身高 175 公分，标准差 4 公分，所以小明的身高在班上比平均多出 3 个标准差；班上家庭年收入平均 80 万元，标准差 20 万元，所以小明家的年收入在班上比平均多出 1 个标准差。这样看来，小明的 “富” 在班上似乎不是太突出，倒是身高相对来说在班上比较高。所以我们得出结论：小明（在这个班）是高而不是富！

为了方便计算比平均高几个标准差，我们对数据进行转换。使转换后的新数据具有平均数为 0、标准差为 1 的特性，这样只要一看新数据，就马上知道是比平均高多少个标准差了。那该如何设定数据转换呢？当然是这样：
$$Z=\frac{X-{\mu }_X}{{\sigma }_X}$$
对于线性变换 $Y=aX+b$ ，其平均数为：
$${\mu }_Y=a{\mu }_X+b$$
直接将原平均数代入线性变换式子即可。所以 $Z$ 的平均数为：
$${\mu }_Z=\frac{{\mu }_X-{\mu }_X}{{\sigma }_X}=0$$
又因为标准差与平移无关，且伸缩系数取绝对值，
$${\sigma }_Y=|a|{\sigma }_X$$
所以 $Z$ 的标准差为：
$${\sigma }_Z=\left|\frac{1}{{\sigma }_X}\right|\cdot {\sigma }_X=1$$

定义：数据的标准化

对数据 $X$ 进行线性变换：
$$Z=\frac{X-{\mu }_X}{{\sigma }_X}$$

这称为数据的标准化，数据 $Z$ 称为标准化数据，标准化数据的值称为 $z$ 分数。

小明身高 187 厘米，进行标准化计算为：$z=\frac{187-175}{4}=3$ 。

$z$ 分数是 3，表示高出平均值 3 个标准差。小明的同学张三身高 173 厘米，进行标准化计算为：

$$z=\frac{173-175}{4}=-0.5$$
$z$ 分数是 - 0.5，表示比平均值低 0.5 个标准差。

标准化数据还有一个特性，就是无单位。比如小明班上的身高，标准差是 4 厘米。如果将身高单位改用米，那么每个人的数据都变为原来的百分之一，例如小明的身高是 1.87 米，班上身高的标准差是 0.04 米。而小明身高的 $z$ 分数，无论原数据用 187 厘米还是 1.87 米，计算结果都是 3。

再介绍一个与标准化概念类似，但不直接使用 $z$ 分数的例子。我们所说的 IQ，并不是智商测试后的原始分数。而是先将原始分数按不同年龄分类，同年龄组的全球平均分数设定为 IQ100，标准差设定为 15。如果你的原始成绩比同年龄全球平均高 2 个标准差，那么你的智商就是 130；如果原始成绩比同年龄全球平均低 1.2 个标准差，那么你的智商就是 82。因此，从你的智商分数中，可以知道自己在同年龄群体中的相对水平。假设你 8 岁时做了一次智商测试，12 岁时再做一次，期间你的智力既没有进步也没有衰退，你的智商应该会下降，因为同年龄群体的整体水平提升了。

有一个国际组织叫门萨（MENSA），是一个高智商俱乐部，其入会门槛为 IQ130。别以为这听起来不高，这已经比平均值高 2 个标准差，符合条件的比例仅约为 2.5%！——对于这个数值，可以通过正态分布得到。

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