上周组委会发布了第十七届全国大学生数学竞赛通知，初赛暂定于2025年11月8日(星期六)上午9:00-11:30举行，同时今年新增了个亮点，针对与数学类的同学，即：

为提升全国大学生数学竞赛的含金量和公平性，并进一步促进各赛区各高校的参赛积极性，第17届起将对在第五轮学科评估中数学学科评估结果为A+的高校试行数学类决赛名额单列，单列名额原则上为 100 个。其中：北京大学基础名额为 22 个，清华大学、复旦大学、山东大学、浙江大学、中国科学技术大学、南开大学基础名额各为 13 个。上述各校以 200 名为报名基准，各校报名人数每减少 20 名，核减 1 个名额；报名人数每增加 40 名，奖励 1 个名额；各校总奖励名额不超过 5 个。

组委会对于决赛总人数原则上为1000人，其中数学专业类500人 （其中100人单列给在第五轮学科评估中数学学科评估结果为A+的高校） ，非数学专业类500人各赛区参加决赛的名额由全国大学生数学竞赛工作组讨论确定。

下面为同学们准备了一套数学类的模拟试题，由夌珏123同学命制的，本张试题仅供学习参考，出题人也保证了每道题都可以写出答案，尤其今年初赛相对比较激烈，组委会特意针对数学类拿出100个名额第五轮数学A+学科的大学，报名人数每增加 40 名，还要再奖励 1 个名额，所以大家继续加油，过段时间公布本试题解答。

第十七届全国大学生数学竞赛（数学类）初赛模拟试题

一、填空题．（本大题共 20 分，每小题 5 分）

（1）对于 $n$ 维Euclid空间中行列式为 1 的正交变换所构成的特殊正交群 $SO(n)$，讨论空间维度 $n$ 的取值$\underline{}$，使得群 $SO\left(n\right)$具有封闭的正规子群.（称$G\subset SO\left(n\right)$是正规的，如果对单位球面上任意$x,y$，存在$\phi \in G$使得$\phi \left(x\right)=y$）

（2）计算积分
∫ 1 + ∞ d x ⌊ x ⌋ { x } 2 ⌊ 1 { x } ⌋ ( ⌈ x ⌉ + 1 + ⌊ 1 { x } ⌋ ) = ‾ . \int_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\left \lfloor x\right \rfloor{\left \{ x\right \}}^{2}\left \lfloor \frac{1}{\left \{ x\right \}}\right \rfloor\left ( \left \lceil x\right \rceil+1+\left \lfloor \frac{1}{\left \{ x\right \}}\right \rfloor\right )}=\underline{\qquad}. ∫1+∞​⌊x⌋{x}2⌊{x}1​⌋(⌈x⌉+1+⌊{x}1​⌋)dx​=​.

（3）令
$$f\left(a,b,\varphi ,\theta \right)=\sin 2\theta \sin 2\varphi J_0\left(a\cos \theta \sin \varphi \right)J_0\left(b\sin \theta \cos \varphi \right),$$
其中$J_0$是0阶的Bessel函数，求
$${\int }_{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{\varphi =0}^{\frac{\pi }{2}}f\left(a,b,\varphi ,\theta \right)\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta =\underline{}.$$

（4）求微分方程 $x^2{y}^{\prime \prime }=\left(\frac{1}{16}-x^2\right)y-x{y}^{\prime }$ 的通解为$\underline{}.$

二、(10分) 证明：若 { a k } \left \{ {a}_{k}\right \} {ak​}是实数列并且满足
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\left|a_k\right|}{k}=\infty ,\sum _{n=1}^{\infty }\sqrt{\left(\sum _{k=2^{n-1}}^{2^n-1}k{\left(a_k-a_{k+1}\right)}^2\right)}<\infty ,$$
则
$${\int }_0^{\pi }\left|\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sin kx\right|\mathrm{d}x=\infty .$$

三、 (10 分) 是否存在这样的函数：周期为$2\pi $的连续函数$f\left ( x\right )$，它的Fourier级数在$x=0$处是发散的，但${f}^{2}\left ( x\right )$的Fourier级数在$\left [ 0,2\pi \right ]$一致收敛. 若存在则举例，若不存在试证明.

四、（15 分） 记${\lambda }_i\left(A\right)$为$A\in M_n$的特征值，证明
$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{\left|{\lambda }_i\left(A\right)\right|}^2⩽\sqrt{{\left(\mathrm{tr}\left(A{A}^{\ast }\right)-\frac{1}{n}{\left|\mathrm{tr}\left(A\right)\right|}^2\right)}^2-\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\left(A{A}^{\ast }-A^{\ast }A\right)}^2\right)}+\frac{1}{n}{\left|\mathrm{tr}\left(A\right)\right|}^2\end{array}$$
并给出等号成立的条件.

五、(15分) 若对$0<a<b,a,b\in \mathbb{R}$，且满足${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x=1$的非负函数$f\left(x\right)$，求证：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\left({\int }_{t-b}^{t+b}f\left(x\right)f\left(t\right)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}t⩾\left(2\lceil \frac{b}{a}\rceil -1\right){\int }_{-\infty }^{+\infty }\left({\int }_{t-a}^{t+a}f\left(x\right)f\left(t\right)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}t$$

六、(15分) 矩阵 $A,B\in M_n\left(\mathbb{C}\right)$，证明：$A,B$可同时上三角化的充要条件是在有限集

B ( n 2 − 1 ) = { C 1 ⋯ C k ( A B − B A ) ∣ C i ∈ { A , B } } , \mathcal{B}\left( n^2-1 \right) =\left\{ C_1\cdots C_k\left( AB-BA \right) |C_i\in \left\{ A,B \right\} \right\} , B(n2−1)={C1​⋯Ck​(AB−BA)∣Ci​∈{A,B}},

中的矩阵迹均为0，其中$i=1,\dots k,0⩽k⩽n^2-1$

七、(15分) 假设$F\left(x\right)$和$g\left(x\right)$连续且保证解的存在唯一性，当$x\ne 0$时
$$xg\left(x\right)>0,F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t,G\left(x\right)={\int }_0^{x}g\left(t\right)\mathrm{d}t,G\left(\pm \infty \right)=\pm \infty ,$$
且$0<x<a_1$ 时 $F\left(x\right)<0$，$a_2<x<0$ 时 $F\left(x\right)>0$，存在常数 M > max ⁡ { a 1 , ∣ a 2 ∣ } M>\max \left \{ {a}_{1},\left | {a}_{2}\right |\right \} M>max{a1​,∣a2​∣} 和 $k^{\prime }<k$ 使得当 $x>M$ 时 $F\left(x\right)>k$，当 $x<-M$ 时 $F\left(x\right)<k^{\prime }$，求证方程
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+f\left(x\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+g\left(x\right)=0$$
至少有一条闭轨.

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