热传导方程能量分析与边界条件研究

题目

问题 10.
(a) 考虑热传导方程在 J = ( − ∞ , ∞ ) J = (-\infty, \infty) J=(,) 上,证明“能量”
E ( t ) = ∫ J u 2 ( x , t ) d x E(t) = \int_{J} u^{2}(x,t) dx E(t)=Ju2(x,t)dx
(8)
不增加;进一步证明,除非 u ( x , t ) = 常数 u(x,t) = \text{常数} u(x,t)=常数,否则它确实减少。

(b) 考虑热传导方程在 J = ( 0 , l ) J = (0,l) J=(0,l) 上,带有 Dirichlet 或 Neumann 边界条件,证明 E ( t ) E(t) E(t) 不增加;进一步证明,除非 u ( x , t ) = 常数 u(x,t) = \text{常数} u(x,t)=常数,否则它确实减少。

© 考虑热传导方程在 J = ( 0 , l ) J = (0,l) J=(0,l) 上,带有 Robin 边界条件:
u x ( 0 , t ) − a 0 u ( 0 , t ) = 0 , u_{x}(0,t) - a_{0}u(0,t) = 0, ux(0,t)a0u(0,t)=0,
u x ( L , t ) + a L u ( L , t ) = 0. u_{x}(L,t) + a_{L}u(L,t) = 0. ux(L,t)+aLu(L,t)=0.
(9)
如果 a 0 > 0 a_{0} > 0 a0>0 a L > 0 a_{L} > 0 aL>0(注:原文中 a l a_{l} al 应为 a L a_{L} aL,已修正),证明端点对 E ( t ) = ∫ 0 L u 2 ( x , t ) d x E(t) = \int_{0}^{L} u^{2}(x,t) dx E(t)=0Lu2(x,t)dx 的减少有贡献。这被解释为部分能量在边界处损失,因此我们称边界条件为辐射或耗散的。

提示. 为了证明 E ( t ) E(t) E(t) 的减少,考虑其对 t t t 的导数,用 k u x x k u_{xx} kuxx 替换 u t u_{t} ut,并进行分部积分。

备注 3.P.1. 在热传导(或扩散)方程的情况下,由 (8) 给出的能量更多是数学上的构造。


解决题目

热传导方程的标准形式为:
u t = k u x x , u_t = k u_{xx}, ut=kuxx,
其中 k > 0 k > 0 k>0 是热扩散系数(常数)。能量泛函定义为:
E ( t ) = ∫ J u 2 ( x , t ) d x , E(t) = \int_{J} u^2(x,t) dx, E(t)=Ju2(x,t)dx,
其中 J J J 是定义域。证明的核心是计算 d E d t \frac{dE}{dt} dtdE 并利用热传导方程和边界条件。

(a) 无限域 J = ( − ∞ , ∞ ) J = (-\infty, \infty) J=(,)

证明:
计算 E ( t ) E(t) E(t) 的时间导数:
d E d t = d d t ∫ − ∞ ∞ u 2 ( x , t ) d x . \frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} u^2(x,t) dx. dtdE=dtdu2(x,t)dx.
假设 u u u 足够光滑,且当 ∣ x ∣ → ∞ |x| \to \infty x 时, u u u 及其一阶导数趋于零(物理上合理的衰减条件),因此可以交换积分与导数顺序:
d E d t = ∫ − ∞ ∞ ∂ ∂ t ( u 2 ) d x = ∫ − ∞ ∞ 2 u u t d x . \frac{dE}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t} (u^2) dx = \int_{-\infty}^{\infty} 2u u_t dx. dtdE=t(u2)dx=2uutdx.
由热传导方程 u t = k u x x u_t = k u_{xx} ut=kuxx,代入得:
d E d t = 2 k ∫ − ∞ ∞ u u x x d x . \frac{dE}{dt} = 2k \int_{-\infty}^{\infty} u u_{xx} dx. dtdE=2kuuxxdx.
对积分进行分部积分:令 f = u f = u f=u, g ′ = u x x g' = u_{xx} g=uxx,则 f ′ = u x f' = u_x f=ux, g = u x g = u_x g=ux
∫ − ∞ ∞ u u x x d x = [ u u x ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ u x ⋅ u x d x . \int_{-\infty}^{\infty} u u_{xx} dx = \left[ u u_x \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} u_x \cdot u_x dx. uuxx

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