前言

• 最近刚学二元一次方程，想写一篇专栏熟悉一下
• 本文写给初一的同学看，学过的就划了吧

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二元一次方程

1. 两个未知数
2. 最高项次数为 $1$ 次
3. 为整式方程
4. 二元一次方程的解不唯一，但是二元一次方程可以用一个未知数来表达另一个未知数

$eg:$
$x+y=1$ $—>$ 用 $x$ 表示 $y$ : $y=1-x$
$2x+3y=2$ $—>$ 用 $y$ 表示 $x$ : $x=\frac{2-3y}{2}=1-\frac{3}{2}y$

二元一次方程组

• 由两个二元一次方程组成
  $eg:$
  $$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-2y=3\end{array}$$
• 当 $n$ 元 $1$ 次方程只有 $n-1$ 等量关系， $n$ 元不被唯一确定，但是可以用一个未知数表达其他未知数

二元一次方程组的解法

1. 代入消元法
   $eg:$
   $$\{\begin{array}{l}2x+3y=45\\ 3x-2y=15\end{array}$$
   $$令：2x+3y=45为①，3x-2y=15为②，由①得：y=15-\frac{2}{3}x\dots \dots ③，将③带入①得：$$

$$\begin{array}{r}3x-2(15-\frac{2}{3}x)=15\\ 3x-30+\frac{4}{3}=15\\ \frac{13}{3}=45\\ x=\frac{135}{13}\end{array}$$
$x=\frac{135}{13}带入③得：$
$$\begin{array}{r}y=15-\frac{2}{3}\times \frac{135}{13}=\frac{105}{13}\end{array}$$
2. 加减消元法
$eg:$
$$\{\begin{array}{l}3(x+y)-4(x-y)=4\\ \frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{6}=1\end{array}$$
$令：3(x+y)-4(x-y)=4为①，\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{6}=1为②$

$将①\times 3得：6x+9y=135\dots \dots ③将②\times 2得：6x-4y=30$
$③-④得：$
$$\begin{array}{r}13y=105\\ y=\frac{105}{13}\end{array}$$
$将①\times 2得：4x+6y=90\dots \dots ⑤$
$将②\times 3得：9x-6y=45\dots \dots ⑥$
$⑤+⑥：$
$$\begin{array}{r}13x=135\\ x=\frac{135}{13}\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\therefore \{\begin{array}{l}x=\frac{135}{13}\\ y=\frac{105}{13}\end{array}\end{array}$$
发现了吗？两个方程解一样

含参二元一次方程

大概长这样：
$$\begin{array}{r}关于x,y得二元一次方程组：\\ \{\begin{array}{l}ax+by=c\\ mx+ny=p\end{array}\end{array}$$
$其实只要把参数(上面的a,b,m,n)当成已知数来解就OK了$

二元一次不定方程

• $不定方程:$$ax+by=c(关于x,y的方程)，研究这个多元方程的整数解问题$
  $eg:$
  $$\begin{array}{r}{x}^n+y^n=z^n,当n\ge 3时，x^n+y^n=z^n不存在整数解(费马大定理)\end{array}$$
  $x^3+y^3=z^3不存在整数解$

• $二元一次不定方程:$
  $eg:$
  $解法1. $
  $$\begin{array}{r}2x+5y=17\\ 5y=17-2k\\ y=\frac{17-2x}{5}\\ 设17-2x=5k\\ \{\begin{array}{l}x=\frac{17-5k}{2}\\ y=k\end{array}(k为整数)\end{array}$$
  $然后带入k求出即可$
  $解法2. $
  $前提：a,b互质$
  $$\begin{array}{r}2x+5y=17\\ \{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}是该方程的一组特殊姐(其实就是凑个解)\end{array}$$

  $$\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=3-2t\end{array}t为整数$$
  $然后带入t，若t为11\dots \dots ；若t为-7\dots \dots$

尾声

• $二元一次方程也差不多说完了，这是本人第一篇要全站推送的专栏(前面一篇题解被打回了，再交时关通道了QAQ)，求管理员高抬贵手，众看客多多关照！$

谢谢观看！