【C++】第十七节—二叉搜索树(概念+性能分析+增删查+实现+使用场景)

好久不见，我是云边有个稻草人

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一、二叉搜索树的概念

二、二叉搜索树的性能分析

三、二叉搜索树的插入

SearchBinaryTree.h

test.cpp

四、⼆叉搜索树的查找

【只有一个3】

【有多个3】

五、⼆叉搜索树的删除

六、二叉搜索树的实现代码

SearchBinaryTree.h

test.cpp

七、二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景

7.2 key/value搜索场景

7.3 key/value⼆叉搜索树代码实现

.cpp

正文开始——

一、二叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树：

若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

二、二叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其高度为： N

所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、二叉搜索树的插入

插⼊的具体过程如下：

树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值比当前结点⼤往右走，插⼊值比当前结点⼩往左走，找到空位置，插⼊新结点。
如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

SearchBinaryTree.h

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};//class SearchBinaryTree
template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node * root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#include"SearchBinaryTree.h"
#include<vector>int main()
{vector<int> a = { 0, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };BSTree<int> t;for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();return 0;
}

四、⼆叉搜索树的查找

从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x比根值小则往左边走查找。
最多查找⾼度次，⾛到空，还没找到，这个值不存在。
如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。

【只有一个3】

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;
}

【有多个3】

查找3，要求查找中序的第一个3。具体后面会讲

五、⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

要删除结点N左右孩⼦均为空
要删除的结点N左孩⼦为空，右孩⼦结点不为空
要删除的结点N右孩⼦为空，左孩⼦结点不为空
要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

下面代码的实现思路：分为3种情况（将上面的情况1归为情况2或者是情况3），分为情况2，情况3，情况4来进行删除结点

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//找到了，删除结点//情况2if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{// 父亲指向我的右if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_right;}else{parent->_left = cur->_right;}}delete cur;}//情况3else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_left;}else{parent->_left = cur->_left;}}delete cur;}//情况4else{// 找右子树最小节点(最左)替代我的位置Node* minRightParent = cur;Node* minRight = cur->_right;while (minRight->_left){minRightParent = minRight;minRight = minRight->_left;}cur->_key = minRight->_key;if (minRightParent->_left == minRight){minRightParent->_left = minRight->_right;}else{minRightParent->_right = minRight->_right;}delete minRight;}return true;}}return false;
}

六、二叉搜索树的实现代码

SearchBinaryTree.h

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};//class SearchBinaryTree
template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//找到了，删除结点if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{// 父亲指向我的右if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_right;}else{parent->_left = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_left;}else{parent->_left = cur->_left;}}delete cur;}else{// 找右子树最小节点(最左)替代我的位置Node* minRightParent = cur;Node* minRight = cur->_right;while (minRight->_left){minRightParent = minRight;minRight = minRight->_left;}cur->_key = minRight->_key;if (minRightParent->_left == minRight){minRightParent->_left = minRight->_right;}else{minRightParent->_right = minRight->_right;}delete minRight;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node * root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#include"SearchBinaryTree.h"
#include<vector>int main()
{vector<int> a = { 0, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };BSTree<int> t;for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();//if (t.Find(300))//{//	cout << "找到了" << endl;//}//else//{//	cout << "没找到" << endl;//}t.Erase(8);t.InOrder();t.Erase(14);t.InOrder();t.Erase(1);t.InOrder();for (auto e : a){t.Erase(e);t.InOrder();}return 0;
}

七、二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进⼊。

场景2：检查⼀篇英⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，车辆离场。场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

7.3 key/value⼆叉搜索树代码实现

.h

	template<class K, class V>class BSTree{typedef BSTNode<K, V> Node;public:bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除if (cur->_left == nullptr){//if (parent == nullptr)if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{// 父亲指向我的右if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_right;}else{parent->_left = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{// 父亲指向我的左if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_left;}else{parent->_left = cur->_left;}}delete cur;}else{// 找右子树最小节点(最左)替代我的位置Node* minRightParent = cur;Node* minRight = cur->_right;while (minRight->_left){minRightParent = minRight;minRight = minRight->_left;}cur->_key = minRight->_key;if (minRightParent->_left == minRight){minRightParent->_left = minRight->_right;}else{minRightParent->_right = minRight->_right;}delete minRight;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " " << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;};
}

.cpp

int main()
{string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };key_value::BSTree<string, int> countTree;for (auto& e : arr){//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(e);auto ret = countTree.Find(e);if (ret == nullptr){countTree.Insert(e, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();return 0;
}

完——

冬眠_司南