7.10 舒尔函数的组合定义

前几节讨论的四个基 $m_{\lambda }$、$e_{\lambda }$、$h_{\lambda }$ 和 $p_{\lambda }$ 的定义都较为直观。本节将介绍第五个基，其元素记为 $s_{\lambda }$，称为舒尔函数，其定义则更为微妙。实际上，舒尔函数有许多不同的（等价的）定义方式，例如可以通过前述四个基中的任意一个来定义，或通过涉及行列式商的“经典”定义，或通过与正交性和三角化相关的抽象性质，又或通过更高级的代数方法。对于初学者而言，这些定义可能都显得缺乏动机。我们选择通过 $m_{\lambda }$ 来定义 $s_{\lambda }$，因为这种方法最具组合性，尽管其他方法也有其独特的优势。当然，最终所有这些方法都会导向相同的理论。

舒尔函数的重要性很大程度上源于它们与数学其他分支的联系，例如表示论和代数几何。我们将在第7.18节讨论其与对称群 ${\mathfrak{S}}_n$ 的表示论的联系，并在附录2中讨论其与一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 及相关群的联系。舒尔函数的另一个重要应用（本书未展开）是Schubert演算；Grassmann簇 $G_k({\mathbb{C}}^n)$ 的上同调环可以用舒尔函数自然地描述。

对称函数

与舒尔函数相关的基本组合对象是半标准杨表。设 $\lambda$ 是一个分划。一个形状为 $\lambda$ 的半标准杨表（SSYT）是一个由正整数构成的数组 $T=(T_{ij})$，其形状为 $\lambda$（即 $1\le i\le \ell (\lambda )$，$1\le j\le {\lambda }_i$），且满足每行弱递增、每列严格递增。半标准杨表的大小是其条目数。以下是一个形状为 $(6,5,3,3)$ 的半标准杨表的例子：

$$\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 2& 2& 3\\ 2& 2& 3& 3& 4& \\ 4& 5& 6& & & \\ 6& 6& 7& & & \end{array}$$

若 $ T $ 是一个形状为 $\lambda$ 的半标准杨表（SSYT），则记 $\lambda =\text{sh}(T)$。因此，$ T $ 的大小即为 $|\text{sh}(T)|$。我们也可以将形状为 $\lambda$ 的半标准杨表视为 $\lambda$ 的杨图（如第1.7节所定义），其方格中填入了满足特定条件的正整数。例如，上述半标准杨表可表示为：

若 $ T $ 中有 ${\alpha }_i={\alpha }_i(T)$ 个部分等于 $i$，则称 $ T $ 的类型为 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots )$，记作 $\alpha =\text{type}(T)$。因此，上述半标准杨表的类型为 $(3,1,1,4,4,1,1,0,2)$。对于任何类型为 $\alpha$ 的半标准杨表 $ T $（或实际上任何带有额外结构的 $\mathbb{P}$ 上的多重集），记

$$x^T=x_1^{{\alpha }_1(T)}{x}_2^{{\alpha }_2(T)}\cdots .$$

对于上述例子，有

$$x^T=x_1^3{x}_2{x}_4^4{x}_5^4{x}_6{x}_7{x}_9^2.$$

半标准杨表的定义可以自然地推广到对称函数理论中的斜形状。若 $\lambda$ 和 $\mu$ 是满足 $\mu \subseteq \lambda$（即对所有 $i$ 有 ${\mu }_i\le {\lambda }_i$）的分划，则定义形状为 $\lambda /\mu$ 的斜半标准杨表为一个由正整数构成的数组 $T=(T_{ij})$，其形状为 $\lambda /\mu$（即 $1\le i\le \ell (\lambda )$，${\mu }_i<j\le {\lambda }_i$），且满足每行弱递增、每列严格递增。以下是一个形状为 $(6,5,3,3)/(3,1)$ 的斜半标准杨表的例子：

$$\begin{array}{cccccc}& & & 3& 4& 4\\ & 1& 4& 7& 7& \\ 2& 2& 6& & & \\ 3& 8& 8& & & \end{array}$$

类似地，可以将形状为 $\lambda$ 的杨图的定义推广到形状为 $\lambda /\mu$ 的斜杨图。因此，形状为 $(6,5,3,3)/(3,1)$ 的斜杨图可表示为：

因此，形状为 $\lambda /\mu$ 的斜半标准杨表可以视为斜杨图的方格中填入了满足特定条件的正整数，正如“普通形状”（也称为直形状）$\lambda$ 的情况。例如，上述形状为 $(6,5,3,3)/(3,1)$ 的斜半标准杨表可表示为：

类型 $\text{type}(T)$ 和 $x^T$ 的定义可以直接从普通形状的半标准杨表推广到斜形状的半标准杨表。

现在，我们来到本章的关键定义。如前所述，在进一步深入之前，这个定义看起来完全缺乏动机。

7.10.1 定义

设 $\lambda /\mu$ 为斜形状。变量 $x=(x_1,x_2,\dots )$ 中形状为 $\lambda /\mu$ 的斜舒尔函数 $s_{\lambda /\mu }=s_{\lambda /\mu }(x)$ 是形式幂级数

$$s_{\lambda /\mu }(x)=\sum _{i=1}^n{x}^i,$$

对所有形状为 $\lambda /\mu$ 的半标准杨表 $T$ 求和。若 $\mu =\varnothing$ 使得 $\lambda /\mu =\lambda$，则称 $s_{\lambda }(x)$ 为形状 $\lambda$ 的舒尔函数。

例如，最大部分不超过 3 的形状 $(2,1)$ 的半标准杨表为

因此

$$s_{21}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2+x_1^2{x}_3+x_1{x}_2^4+x_2^3{x}_3+x_2{x}_3^4+2x_1{x}_2{x}_3$$ $$=m_{21}(x_1,x_2,x_3)+2m_{111}(x_1,x_2,x_3).$$

因此，由于 $s_{21}$ 的每一项中最多出现三个不同的变量，我们有 $s_{21}=m_{21}+2m_{111}$（作为 $\Lambda$ 的元素，即在无限多变量中的对称函数）。然而，$s_{\lambda /\mu }$ 实际上总是对称函数这一点并不显然。

7.10.2 定理

对任意斜形状 $\lambda /\mu$，斜舒尔函数 $s_{\lambda /\mu }$ 是对称函数。

证明：只需证明 [为什么？] $s_{\lambda /\mu }$ 在交换 $x_i$ 和 $x_{i+1}$ 时保持不变。设 $|\lambda /\mu |=n$，且 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots )$ 是 $n$ 的弱组合。令

$$\tilde{\alpha }=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{i-1},{\alpha }_{i+1},{\alpha }_i,{\alpha }_{i+2},\dots ).$$

若 ${\mathcal{T}}_{\lambda /\mu ,\tilde{\alpha }}$ 表示所有形状为 $\lambda /\mu$ 且类型为 $\alpha$ 的半标准杨表的集合，则我们需要构造一个双射 $\phi :{\mathcal{T}}_{\lambda /\mu ,\alpha }\to {\mathcal{T}}_{\lambda /\mu ,\tilde{\alpha }}$。

设 $T\in {\mathcal{T}}_{\lambda /\mu ,\alpha }$。考虑 $T$ 中等于 $i$ 或 $i+1$ 的部分。$T$ 的某些列不包含这些部分，而某些列包含两个这样的部分，即一个 $i$ 和一个 $i+1$。这些列我们忽略。其余等于 $i$ 或 $i+1$ 的部分在每列中出现一次，且由一定数量 $r$ 个 $i$ 后跟一定数量 $s$ 个 $i+1$ 的行组成。（当然，$r$ 和 $s$ 取决于具体的行。）例如，$T$ 的一部分可能如下所示。

在每一行中，将 $r$ 个 $t$ 和 $s$ 个 $t+1$ 转换为 $s$ 个 $t$ 和 $r$ 个 $t+1$：

容易看出，得到的数组 $\phi (T)$ 属于 ${\mathcal{T}}_{\lambda /\mu ,\tilde{\alpha }}$，且 $\phi$ 建立了所需的双射。

若 $\lambda ⊢n$ 且 $\alpha$ 是 $n$ 的弱组合，则记 ${\mathcal{K}}_{\lambda \mu }$ 为形状 $\lambda$ 且类型 $\alpha$ 的半标准杨表的数量。${\mathcal{K}}_{\lambda \alpha }$ 称为科斯特卡数(Kostka numbers)，在对称函数理论中具有重要作用。根据定义 7.10.1，我们有

$$s_{\lambda }=\sum _{\alpha }{\mathcal{K}}_{\lambda \alpha }{x}^{\alpha },$$

对所有 $n$ 的弱组合 $\alpha$ 求和，因此由定理 7.10.2 可得

$$s_{\lambda }=\sum _{\mu ⊢n}{\mathcal{K}}_{\lambda \mu }{m}_{\mu }.(7.35)$$

更一般地，我们可以定义斜科斯特卡数 ${\mathcal{K}}_{\lambda /\nu ,\alpha }$ 为形状 $\lambda /\nu$ 且类型 $\alpha$ 的半标准杨表的数量，因此若 $|\lambda /\nu |=n$，则

$$s_{\lambda /\nu }=\sum _{\mu ⊢n}{\mathcal{K}}_{\lambda /\nu ,\mu }{m}_{\mu }.(7.36)$$

目前尚未找到 ${\mathcal{K}}_{\lambda /\nu ,\mu }$ 或甚至 ${\mathcal{K}}_{\lambda \mu }$ 的通用简单公式，且此类公式存在的可能性较低。对于某些特定的 $\lambda$、$\nu$ 和 $\mu$，可以给出公式，其中最重要的是 $\nu =\varnothing$ 且 $\mu =(1^n)$ 的情况。虽然我们将在后续内容中给出此公式（推论 7.21.6），但让我们更详细地探讨数 ${\mathcal{K}}_{\lambda ,1^n}$（也记作 $f^{\lambda }$）的含义。组合意义。根据定义，$f^{\lambda }$ 是将数字 $1,2,\dots ,n$ 插入形状 $\lambda ⊢n$ 的方式数，每个数字恰好出现一次，且每行每列严格递增。这样的数组称为形状 $\lambda$ 的标准杨表（SYT）（或简称标准表）。例如，形状 $(3,2)$ 的标准杨表为

因此 $f^{(3,2)}=5$。数 $f^{\lambda }$ 还有几种其他组合解释，如下述命题所示。

7.10.3 命题

设 $\lambda \in \text{Par}$。则数 $f^{\lambda }$ 枚举以下 (a)-(e) 项中的对象。我们以 $\lambda =(3,2)$ 为例说明这些对象。

(a) (分划链) Young 格 $Y$ 的区间 $[\varnothing ,\lambda ]$ 中的饱和链，等价地，满足 ${\lambda }^i$ 由 ${\lambda }^{i-1}$ 添加单个方格得到的分划序列 $\varnothing ={\lambda }^0\subset {\lambda }^1\subset \cdots \subset {\lambda }^n=\lambda$ 的数量（我们将分划与其图示视为等同）：
$$\begin{array}{rl}& \varnothing \subset 1\subset 2\subset 3\subset 31\subset 32\\ & \varnothing \subset 1\subset 2\subset 21\subset 31\subset 32\\ & \varnothing \subset 1\subset 2\subset 21\subset 22\subset 32\\ & \varnothing \subset 1\subset 11\subset 21\subset 31\subset 32\\ & \varnothing \subset 1\subset 11\subset 21\subset 22\subset 32\end{array}$$

(b) (线性扩张) 设 $P_{\lambda }$ 是偏序集，其元素为 $\lambda$ 图示的方格，若 $t$ 位于 $s$ 正右方或正下方（中间无其他方格）则 $t$ 覆盖 $s$。此类偏序集即为 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ 的有限序理想。则 $f^{\lambda }=e(P_{\lambda })$，即 $P_{\lambda }$ 的线性扩张数。

© (投票序列) $n$ 位选民依次为候选人 $A_1,A_2,\dots$ 投票的方式，使得对任意 $i$，$A_i$ 获得 ${\lambda }_i$ 票，且 $A_i$ 的得票数始终不低于 $A_{i+1}$（记此类投票序列为 $a_1{a}_2\cdots a_n$，其中第 $k$ 位选民投票给 $A_{a_k}$）。
$$1112211212112211211212121$$

(d) (格排列) 序列 $a_1{a}_2\cdots a_n$ 满足：$i$ 出现 ${\lambda }_i$ 次，且对任意左因子 $a_1{a}_2\cdots a_j$，$i$ 的出现次数不小于 $i+1$ 的出现次数（对所有 $i$）。此类序列称为 $\lambda$ 型的格排列（或称 Yamanouchi 词或投票序列）。
$$1112211212112211211212121$$

(e) (格路径) ${\mathbb{R}}^{\ell }$（$\ell =\ell (\lambda )$）中从原点 $v_0$ 到 $v_n=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{\ell })$ 的格路径 $0=v_0,v_1,\dots ,v_n$，每步为单位坐标向量，且保持在区域 $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_{\ell }\ge 0$ 内。

证明：
(a) 将 $i$ 插入到 ${\lambda }^{i-1}$ 新增的方格中得到 ${\lambda }^i$，从而构造出形状为 $\lambda$ 的标准杨表。

(b) Young 格 $Y$ 中的区间 $[\varnothing ,\lambda ]$ 即为 $J(P_{\lambda })$（$P_{\lambda }$ 的序理想格），因此 $f^{\lambda }$ 的 (a) 和 (b) 两种解释的等价性实为命题 3.5.2 后续讨论的特例。

© 若第 $k$ 位投票者投票给 $A_i$，则将 $k$ 置于形状 $\lambda$ 的第 $i$ 行。

(d) 显然 © 中的投票序列与 (d) 中的格排列完全相同。

(e) 若 $a_1{a}_2\cdots a_n$ 是 (d) 中的格排列，令 $v_i-v_{i-1}$ 为第 $a_i$ 个单位坐标向量（即第 $a_i$ 位为 1 其余为 0 的向量）可得到格路径。或者，(b) 与 (e) 的等价性是例 3.5.3 前讨论的特例。

上述五种解释均可直接推广至斜情形 $f^{\lambda /\mu }$。具体细节留给感兴趣的读者。

在处理舒尔函数、Kostka数等问题时，有时使用行和列递减的数组比半标准杨表（SSYT）更为方便。定义形状为$\lambda /\mu$的反向半标准杨表（reverse SSYT）或列严格平面划分（简称costripp）为一个正整数数组，其形状为$\lambda /\mu$，满足行弱递减且列严格递减。反向半标准杨表的类型$\alpha$的定义与普通半标准杨表相同。例如：

这是一个形状为$(6,5,3,3)/(3,1)$、类型为$(2,2,1,0,3,2,2,1)$的反向半标准杨表。

值得提及一种与半标准杨表等价的组合对象。Gelfand-Tsetlin模式（有时简称为Gelfand模式）或完全分支是一个非负整数的三角数组$G$，形如：

满足当所有三个数都有定义时，$a_{ij}\le a_{i+1,j+1}\le a_{i,j+1}$。换言之，$G$的行是弱递增的，且$a_{i+1,j+1}$位于其上方两个相邻数之间（含端点）。例如：

给定(7.37)式的Gelfand-Tsetlin模式$G$，令${\lambda }^i$为$G$的第$i$行逆序排列。通过将$n-i+1$插入斜形状${\lambda }^i/{\lambda }^{i+1}$的方格中，定义表格$T=T(G)$。对于上述例子，$T(G)$为：

我们得到一个形状为${\lambda }^1$（$G$的第一行逆序）、最大部分不超过$n$的半标准杨表。这种具有固定第一行$\alpha$（长度为$n$）的Gelfand-Tsetlin模式与形状为${\alpha }^{\prime }$（$\alpha$的逆序）、最大部分不超过$n$的半标准杨表之间的对应关系，显然是一个双射。

定义${\hat{K}}_{\lambda /\mu ,\alpha }$为形状$\lambda /\mu$、类型$\alpha$的反向半标准杨表的数量。下一个命题表明，在许多情况下，普通半标准杨表与反向半标准杨表并无本质区别。

7.10.4 命题

设 $\lambda /\mu$ 为 $n$ 的斜分划，$\alpha$ 为 $n$ 的弱组合。则 ${\hat{K}}_{\lambda /\mu ,\alpha }=K_{\lambda /\mu ,\alpha }$。

证明：设 $T$ 为形状 $\lambda /\mu$、类型 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots )$ 的反向半标准杨表，$k$ 为 $T$ 的最大部分。变换 $T_{ij}\mapsto k+1-T_{ij}$ 表明 ${\hat{K}}_{\lambda /\mu ,\alpha }=K_{\lambda /\mu ,\alpha }$，其中 $\alpha =({\alpha }_k,{\alpha }_{k-1},\dots ,{\alpha }_1,0,0,\dots )$。由定理 7.10.2 知 $K_{\lambda /\mu ,\alpha }=K_{\lambda /\mu ,\alpha }$，证毕。

7.10.5 命题

设 $\mu$ 和 $\lambda$ 为满足 $|\mu |=|\lambda |$ 且 $K_{\lambda \mu }\ne 0$ 的分划。则 $\mu \le \lambda$（支配序），且 $K_{\lambda \lambda }=1$。

证明：若 $K_{\lambda \mu }\ne 0$，则存在形状 $\lambda$、类型 $\mu$ 的半标准杨表 $T$。假设某元素 $T_{ij}=k$ 出现在第 $k$ 行下方（即 $i>k$），则对 $i>k$ 有 $1\le T_{1k}<T_{2k}<\cdots <T_{ik}=k$，矛盾。故部分 $1,2,\dots ,k$ 均在前 $k$ 行出现，因此 ${\mu }_1+{\mu }_2+\cdots +{\mu }_k\le {\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_k$。当 $\mu =\lambda$ 时必有 $T_{ij}=i$（对所有 $(i,j)$），故 $K_{\lambda \lambda }=1$。

7.10.6 推论

舒尔函数 {sλ:λ∈Par(n)}\{s_\lambda : \lambda \in \text{Par}(n)\}{sλ​:λ∈Par(n)} 构成 ${\Lambda }^n$ 的基，从而 {sλ:λ∈Par}\{s_\lambda : \lambda \in \text{Par}\}{sλ​:λ∈Par} 是 $\Lambda$ 的基。事实上，对于任意扩张支配序的 $\text{Par}(n)$ 线性序，表达 $s_{\lambda }$ 关于 $m_{\mu }$ 的转移矩阵 $(K_{\lambda \mu })$ 是主对角线为 1 的下三角矩阵。

证明：命题 7.10.5 等价于关于 $(K_{\lambda \mu })$ 的断言。因主对角线为 1 的下三角矩阵可逆，故 {sλ}\{s_\lambda\}{sλ​} 是 ${\Lambda }^n$ 的 $\mathbb{Q}$-基。
注：实际上 {sλ}\{s_\lambda\}{sλ​} 也是 ${\Lambda }_{\mathbb{Z}}^n$ 的 $\mathbb{Z}$-基，因每个 $K_{\lambda \lambda }=1$（而非仅 $K_{\lambda \lambda }\ne 0$）。

后续章节将建立舒尔函数的基础理论，包括：

• $s_{\lambda }$ 与基 $m_{\lambda }$, $h_{\lambda }$, $e_{\lambda }$, $p_{\lambda }$ 间的转移矩阵
• 与内积 $⟨,⟩$ 及自同构 $\omega$ 的联系
  （虽已通过定义考察 $(K_{\lambda \mu })$，但尚未知逆矩阵形式）
• 对称函数理论的计数应用：
  • 平面划分的枚举
  • 置换统计量的结果
  • Polya 群作用计数理论

下表为 Kostka 数 $K_{\lambda \mu }$ 的简表。