tinyrenderer笔记（透视矫正）

tinyrenderer
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引言

还要从上一节知识说起，在上一节中我为了调试代码，换了一个很简单的正方形 obj 模型，配上纹理贴图与法线贴图进行渲染，得了下面的结果：

image.png|475

what？这是啥，为什么正方形中间纹理出现了扭曲，当我调大旋转的角度，这个扭曲越发明显：

很明显这是纹理坐标出了问题，这就引出了另外一个知识：透视矫正插值，也就是 tinyrenderer 的这篇文章：Technical difficulties: linear interpolation with perspective deformations

透视矫正插值

首先思考我们现在的插值是怎么做的？

如上图所示，假设我们渲染一个 $\bigtriangleup ABC$ 内的 $P$ 点，经透视投影后，被投影为 $\bigtriangleup abc$ 内的 $p$ 点。我们是如何计算重心坐标的？

Vec3f bc_screen = glm::barycentric(viewport_coords[0], viewport_coords[1], viewport_coords[2], P);

上述代码中，我们拿的是屏幕空间的坐标去计算重心坐标。思考这样一个问题：假设观察空间下 $\bigtriangleup ABC$ 内 $P$ 点的重心坐标为 $(\alpha,\beta,\gamma)$ ， $\bigtriangleup abc$ 内 $p$ 点为 $(\alpha^\prime,\beta^\prime,\gamma^\prime)$ 。你觉得 $(\alpha,\beta,\gamma)=(\alpha^\prime,\beta^\prime,\gamma^\prime)$ 吗？

答案为否，因为透视投影是一种非线性变换， $\bigtriangleup ABC$ 经过透视投影之后会发生畸变，整体比例会发生变化。但我们却用 $(\alpha^\prime,\beta^\prime,\gamma^\prime)$ 去插值，希望得到 $\bigtriangleup ABC$ 内点 $P$ 的属性，这肯定会造成误差！

可能有同学很快会想出一种思路：既然计算 $\bigtriangleup abc$ 内 $p$ 点的重心坐标去插值不准确，那么我是否可以将屏幕空间下的 $p$ 点经过逆变换得到 $P$ 点，然后计算 $P$ 点关于 $\bigtriangleup ABC$ 的重心坐标呢？

理论上没有问题，但是思考一下我们是如何获得 $p$ 点的 $z$ （深度值）的，我们是通过插值获得的（这不套娃吗？），所以屏幕空间下 $p$ 点的 $z$ 坐标是无法准确得到的。同时，在经过透视投影后，我们进行了透视除法， $w$ 分量也被丢弃了。所以，我们将 $p$ 逆变换成 $P$ 困难重重。

虽然 $p$ 点的信息我们无法确定，但是三角形三个顶点的所有信息我们是能够知道的，那么我们是否能够通过已知变量来建立 $(\alpha^\prime,\beta^\prime,\gamma^\prime)$ 到 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 的映射关系呢？前辈们已经为我们做好了这个工作，下面将开始推导。

推导

推导过程来自：perspective-correct-interpolation.dvi

下图展示了透视投影在视图空间形成的视锥体，相机位于原点：

设点 $A, B, C, P$ 经过齐次矩阵 $M$ 转化为了 $A^\prime,B^\prime,C^\prime,P^\prime$ （经过透视投影与透视除法的坐标）：

$\begin{align*} \begin{pmatrix} A'w_a \\ w_a \end{pmatrix} &= \mathbf{M} \begin{pmatrix} A \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} B'w_b \\ w_b \end{pmatrix} &= \mathbf{M} \begin{pmatrix} B \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} C'w_c \\ w_c \end{pmatrix} &= \mathbf{M} \begin{pmatrix} C \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} P'w_p \\ w_p \end{pmatrix} &= \mathbf{M} \begin{pmatrix} P \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

真正的重心坐标权重为 $\alpha,\beta,\gamma$ ，经过透视投影变为了 $\alpha^\prime,\beta^\prime,\gamma^\prime$ 。

$\begin{align*} P &= \alpha A + \beta B + \gamma C\\ P' &= \alpha' A' + \beta' B' + \gamma' C' \end{align*}$

在光栅化阶段我们可以直接计算 $\alpha^\prime,\beta^\prime,\gamma^\prime$ ，但我们需要 $\alpha,\beta,\gamma$ 来正确的插值顶点的属性。

$\begin{align*} \begin{pmatrix} P \\ 1 \end{pmatrix} &= \alpha \begin{pmatrix} A \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} B \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} C \\ 1 \end{pmatrix}\\ \mathbf{M} \begin{pmatrix} P \\ 1 \end{pmatrix} &= \alpha \mathbf{M} \begin{pmatrix} A \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \mathbf{M} \begin{pmatrix} B \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma \mathbf{M} \begin{pmatrix} C \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} P'w_p \\ w_p \end{pmatrix} &= \alpha \begin{pmatrix} A'w_a \\ w_a \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} B'w_b \\ w_b \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} C'w_c \\ w_c \end{pmatrix} \tag{1} \end{align*}$

将 1 式分解则有：

$\begin{align*} P' w_p &= \alpha A' w_a + \beta B' w_b + \gamma C' w_c \tag{2}\\ w_p &= \alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c \tag{3}\\ \end{align*}$

将 3 式带入 2 式可得：

$\begin{align*} P' &= \frac{\alpha A' w_a + \beta B' w_b + \gamma C' w_c}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c}\\ P' &= \frac{\alpha w_a}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c} A' + \frac{\beta w_b}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c} B' + \frac{\gamma w_c}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c} C' \end{align*}$

所以有：

$\begin{cases} \begin{align*} \alpha' &= \frac{\alpha w_a}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c}\\ \beta' &= \frac{\beta w_b}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c}\\ \gamma' &= \frac{\gamma w_c}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c} \end{align*} \end{cases}$

但我们希望用 $\alpha',\beta',\gamma'$ 来表示 $\alpha,\beta,\gamma$ ，设分母为 $k$

$k=\frac{1}{\alpha w_a + \beta w_b + \gamma w_c}$

则有：

$\begin{cases} \begin{align*} \alpha' &= \alpha w_ak\\ \beta' &= \beta w_bk\\ \gamma' &= \gamma w_ck \end{align*} \end{cases}$

$\begin{cases} \begin{align*} \alpha &= \frac{\alpha'}{w_ak} \tag{4}\\ \beta &= \frac{\beta'}{w_bk}\tag{5}\\ \gamma &= \frac{\gamma'}{w_ck}\tag{6} \end{align*} \end{cases}$

又因为 $\alpha+\beta+\gamma=1$ ，

$\begin{align*} 1&=\alpha+\beta+\gamma=\frac{\alpha'}{w_ak}+\frac{\beta'}{w_bk}+\frac{\gamma'}{w_ck}\\ k&=\frac{\alpha'}{w_a}+\frac{\beta'}{w_b}+\frac{\gamma'}{w_c} \tag{7} \end{align*}$

将 7 式带入 4、5、6 式即可得到：

$\begin{cases} \begin{align*} \alpha &= \frac{\frac{\alpha'}{w_a}}{\frac{\alpha'}{w_a}+\frac{\beta'}{w_b}+\frac{\gamma'}{w_c}}\\ \beta &= \frac{\frac{\beta'}{w_b}}{\frac{\alpha'}{w_a}+\frac{\beta'}{w_b}+\frac{\gamma'}{w_c}}\\ \gamma &= \frac{\frac{\gamma'}{w_c}}{\frac{\alpha'}{w_a}+\frac{\beta'}{w_b}+\frac{\gamma'}{w_c}} \end{align*} \end{cases}$

现在，我们就可以使用 $\alpha,\beta,\gamma$ 来正确插值顶点的属性了。

代码

来完善这个函数，barycentricCorrect，它会返回经过透视矫正后的重心坐标。这是在二位平面上的插值，A、B、C 的 z 分量会存储它们经过透视投影后的 w 分量。

Vec3f glm::barycentricCorrect(const Vec3f& A, const Vec3f& B, const Vec3f& C, const Vec3f& P)
{if (IsNearlyZero(A.z) && IsNearlyZero(B.z) && IsNearlyZero(C.z)){std::cout << "glm::barycentricCorrect A, B, C w is zero!" << std::endl;return barycentric(A, B, C, P);}Vec3f bc = barycentric(A, B, C, P);float det = bc.x/A.z + bc.y/B.z + bc.z/C.z;if (IsNearlyZero(det)){std::cout << "glm::barycentricCorrect det is zero" << std::endl;return bc;}bc.x = bc.x / A.z / det;bc.y = bc.y / B.z / det;bc.z = bc.z / C.z / det;return bc;
}

剩下要做的就只有在 glProgram::Draw 函数内，把对 barycentric 改为 barycentricCorrect：

Vec3f bc_screen = glm::barycentricCorrect(Vec3f(viewport_coords[0].x, viewport_coords[0].y, vertexs_w[0]),Vec3f(viewport_coords[1].x, viewport_coords[1].y, vertexs_w[1]),Vec3f(viewport_coords[2].x, viewport_coords[2].y, vertexs_w[2]), P);

结果：

最后还需要提一点，本文提到的透视矫正只针对透视投影来说，正交投影不存在这个问题。

本次代码提交记录：

这个版本的 LookAt 函数存在错误！2025-4-29 16.23 提交修复

参考

Technical difficulties: linear interpolation with perspective deformations
perspective-correct-interpolation.dvi

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