亚当·斯密思想精髓的数学建模与形式化表征

摘要：本文运用数学建模方法对亚当·斯密的经济与伦理思想进行形式化表征。通过分工的规模经济模型和市场均衡条件展现《国富论》中"看不见的手"原理；采用扩展效用函数与合作博弈均衡解释《道德情操论》的同情心理论；最终建立混合动机均衡模型，统一自利与道德行为。研究表明，数学融智学框架能够量化分析市场效率与伦理约束的协同作用，为政策制定和企业决策提供可计算的理论基础。

亚当·斯密的两部经典著作《国富论》与《道德情操论》分别从经济效率与道德伦理的角度揭示了人类社会运行的底层逻辑。通过数学融智学的视角，我们可以将其核心思想提炼为以下公式框架，并结合实例阐释“看不见的手”如何驱动市场均衡。

一、《国富论》的核心思想：分工与市场均衡

斯密认为，分工提升效率，而自利行为通过“看不见的手”实现社会总福利最大化。这一过程可形式化为以下模型：

1.分工的规模经济模型
设经济系统中有 n种商品，生产商品 i 的劳动生产率随分工细化提升：

L_i=a_i⋅d_i^α(0<α<1)

L_i：生产商品 i的劳动投入

d_i：商品 i的分工程度

a_i：技术系数，α：分工弹性

实例：制针工厂的分工
若未分工时每人每天生产 10根针，分工后（d_i=10，α=0.5，a_i=1）：

L_i=1⋅10^0.5≈3.16⇒每人每天生产10/3.16≈3.16倍效率提升 

2.“看不见的手”的均衡条件
个体追求效用最大化，市场通过价格调节实现供需均衡：

max_xiU(x_1,x_2,...,x_n)s.t.∑_i=1^n p_i x_i≤I

U：个体效用函数

p_i：商品价格，I：收入

市场均衡时，满足瓦尔拉斯均衡条件：

∑_i=1^n(D_i(p)−S_i(p))=0

D_i(p)：需求函数，S_i(p)：供给函数

实例：小麦市场的均衡

需求函数：D(p)=100−2p

供给函数：S(p)=20+3p

均衡价格：100−2p=20+3p⇒p^∗=16

均衡数量：Q^∗=100−2×16=68

解释：
生产者追求利润最大化（提高供给），消费者追求效用最大化（压低价格），最终通过价格机制达成均衡，体现“看不见的手”的协调作用。

二、《道德情操论》的核心思想：同情心的社会协调

斯密提出，同情心（Sympathy）是社会秩序的伦理基础，可通过博弈论中的合作均衡建模：

1.道德情感的效用函数扩展
个体效用不仅依赖自身利益，还包含对他人的关切：

U_i=u_i(x_i)+β∑_j≠i θ_ij⋅u_j(x_j)

β：道德偏好强度（β>0表示利他）

θ_ij：个体 i 对 j 的同情系数

合作博弈的帕累托均衡
社会最优状态需满足：

∀_i, ∂U_i/∂x_i=∂U_j/∂x_j（边际效用相等）

实例：公共品捐赠博弈

两人各拥有 10 元，可捐赠 g_i元建设公共设施，总效用为：

U_i=(10−g_i)+0.5×(10−g_j)+2√g_i+g_j

均衡解：通过求导得 g_i^∗=g_j^∗=4，总捐赠 8元，高于纯自利模型（g_i=0）。

解释：同情心（β=0.5）促使个体合作，提升社会总福利。 

三、“看不见的手”的数学综合：自利与同情的统一

斯密的两大思想可通过混合动机均衡模型统一：

max_xi[u_i(x_i)+β∑_j≠i θ_ij u_j(x_j)]s.t.市场均衡条件 

实例：碳排放权交易市场

自利行为：企业购买碳排放权以最小化成本。

道德约束：公众压力（β）促使企业超额减排。

均衡结果：市场价格反映环境成本，同时社会同情心推动实际排放低于纯经济均衡水平。

四、数学融智学的整合框架

将斯密思想抽象为以下系统方程：

经济系统：dW/dt=∑_i=1^n(∂U_i/∂x_i⋅dx_i/dt)（财富增长动力）

伦理系统：β⋅∇θ_ij≥γ（道德约束条件）

W：社会总福利

γ：社会容忍阈值

动态解释：

当经济效率驱动（dW/dt>0）与道德约束（β≥γ）同时满足时，社会实现斯密式的“自然自由体系”。

总结

通过数学建模，亚当·斯密的思想可被形式化为：

分工的幂律函数与市场均衡方程体现“看不见的手”的效率逻辑；

同情心扩展的效用函数与合作博弈均衡揭示道德伦理的社会协调；

混合动机均衡模型统一自利与同情，解释现代市场中的复杂行为（如ESG投资、社会责任消费）。

现实意义：

政策制定者可利用此类模型量化评估市场干预（如税收）与道德倡导（如公益宣传）的协同效应。

企业可通过调整β值（如发布社会责任报告）提升长期竞争力。

数学融智学为经济学与伦理学的跨学科研究提供了可计算、可预测的框架。