题目

问题 6. 一个球形波是三维波动方程的解，形式为 $$u(r,t)$$，其中 $$r$$ 是到原点的距离（球坐标）。波动方程的形式为：

$$u_{tt}=c^2\left(u_{rr}+\frac{2}{r}{u}_r\right)\text{(球形波方程)}.$$ (2.C.8)

(a) 通过变量替换 $$v=ru$$ 得到 $$v$$ 的方程： $$v_{tt}=c^2{v}_{rr}$$.

(b) 使用

$$v=f(r+ct)+g(r-ct)$$ (2.C.9)

求解 $$v$$，从而求解球形波方程。

© 使用

$$v(r,t)=\frac{1}{2}\left[\varphi (r+ct)+\varphi (r-ct)\right]+\frac{1}{2c}{\int }_{r-ct}^{r+ct}\psi (s)ds$$ (2.C.10)

其中 $$\varphi (r)=v(r,0)$$, $$\psi (r)=v_t(r,0)$$ 来求解具有初始条件 $$u(r,0)=\Phi (r)$$, $$u_t(r,0)=\Psi (r)$$ 的方程。（注：题目中 “ψ®=v+t(r,0)” 和 “u+t(r,0)” 为笔误，应为 $$v_t(r,0)$$ 和 $$u_t(r,0)$$。）

(d) 找到满足 (2.C.8) 的解 $$u$$ 的一般形式，该解在 $$r=0$$ 处连续。

问题 14. 推广问题 6：一个球形波是 $$n$$ 维波动方程的解，形式为 $$u(r,t)$$，其中 $$r$$ 是到原点的距离（球坐标）。波动方程的形式为：

$$u_{tt}=c^2\left(u_{rr}+\frac{n-1}{r}{u}_r\right)\text{(球形波方程)}.$$ (2.C.26)

(a) 证明如果 $$u$$ 满足 (2.C.26)，则 $$r^{-1}{\partial }_{r}u(r,t)$$ 也满足 (2.C.26)，但 $$n$$ 被替换为 $$n+2$$.

(b) 使用这个和问题 6，写出奇数 $$n$$ 的球形波。

© 描述 $$n=1$$ 时的球形波。

备注 2.C.4. 对于偶数 $$n$$，球形波不存在。

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解决图片中的题目

以下是针对问题 6 和问题 14 的完整解答。解答步骤详细，包括推导和解释。

问题 6 解答

(a) 通过变量替换 $$v=ru$$ 得到 $$v$$ 的方程： $$v_{tt}=c^2{v}_{rr}$$

给定球形波方程：
$$u_{tt}=c^2\left(u_{rr}+\frac{2}{r}{u}_r\right)$$

设 $$v=ru$$，则 $$u=\frac{v}{r}$$.

计算偏导数：

• $$u_t=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{v}{r}\right)=\frac{1}{r}{v}_t$$（因为 $$r$$ 与 $$t$$ 无关），
• $$u_{tt}=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\left(\frac{v}{r}\right)=\frac{1}{r}{v}_{tt}$$.

计算 $$u_r$$ 和 $$u_{rr}$$:

• $$u_r=\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{v}{r}\right)=\frac{1}{r}{v}_r-\frac{1}{r^2}v$$,
• $$u_{rr}=\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}{v}_r-\frac{1}{r^2}v\right)=-\frac{1}{r^2}{v}_r+\frac{1}{r}{v}_{rr}+\frac{2}{r^3}v-\frac{1}{r^2}{v}_r=\frac{1}{r}{v}_{rr}-\frac{2}{r^2}{v}_r+\frac{2}{r^3}v$$.

代入方程右边：
u r r + 2 r u r = ( 1 r v r r − 2 r 2 v r + 2 r 3 v ) + 2 r ( 1 r v r − 1 r 2 v ) = 1 r v r r − 2 r 2 v r + 2 r 3 v + 2 r 2 v r −