PILCO: 基于模型的高效策略搜索方法原理解析

PILCO (Probabilistic Inference for Learning Control) 是一种基于模型的强化学习算法，由Marc Deisenroth和Carl Rasmussen于2011年提出。该算法在数据效率方面表现出色，能够以极少的样本数据实现有效学习。下面我将详细阐述PILCO的核心原理。

1. 算法基本框架

PILCO算法的基本框架包含三个主要组成部分：

1. 基于高斯过程的动态模型学习
2. 长期轨迹预测与不确定性传播
3. 基于解析梯度的策略优化

PILCO的工作流程为：

• 收集少量初始数据
• 学习系统动态模型
• 基于模型进行长期预测
• 优化控制策略
• 执行策略并收集新数据
• 迭代上述过程

2. 基于高斯过程的系统动态建模

2.1 高斯过程回归

PILCO使用高斯过程(GP)来建模系统动态。高斯过程是一种非参数贝叶斯方法，可以捕捉输入空间中的不确定性。

对于系统状态 $x_t$ 和控制输入 $u_t$，PILCO学习状态转移函数：
$${\Delta }_t=f(x_t,u_t)=x_{t+1}-x_t$$

高斯过程定义了一个分布在函数空间上的先验，通过观测数据更新为后验分布。对于输入 $(x,u)$，高斯过程预测下一状态的分布为高斯分布：
$$p(f(x,u)|D)=\mathcal{N}(m(x,u),v(x,u))$$

其中 $D$ 是训练数据，$m(x,u)$ 是均值函数，$v(x,u)$ 是方差函数。

2.2 多输出高斯过程

对于多维状态空间，PILCO使用多个独立的高斯过程模型，每个模型预测状态向量的一个维度。在代码中，这通过MGPR（多输出高斯过程回归）类实现：

class MGPR(gpflow.Module):def __init__(self, data, name=None):# 初始化多个独立的GP模型，每个模型对应一个状态维度

3. 长期轨迹预测与不确定性传播

PILCO的一个关键创新是如何进行长期预测并处理不确定性的传播。

3.1 状态分布的表示

PILCO使用高斯分布来表示状态：
$$p(x_t)=\mathcal{N}(m_t,S_t)$$

其中 $m_t$ 是均值向量，$S_t$ 是协方差矩阵。

3.2 不确定性的传播

当状态和动作都是分布时，预测下一状态分布变得复杂。PILCO使用矩匹配(moment matching)技术将复杂分布近似为高斯分布：

1. 首先计算控制器输出的动作分布：

   m_u, s_u, c_xu = self.controller.compute_action(m_x, s_x)
   

2. 将状态和动作分布合并：

   m = tf.concat([m_x, m_u], axis=1)
   s1 = tf.concat([s_x, s_x@c_xu], axis=1)
   s2 = tf.concat([tf.transpose(s_x@c_xu), s_u], axis=1)
   s = tf.concat([s1, s2], axis=0)
   

3. 基于高斯过程模型预测下一状态分布：

   M_dx, S_dx, C_dx = self.mgpr.predict_on_noisy_inputs(m, s)
   M_x = M_dx + m_x
   S_x = S_dx + s_x + s1@C_dx + tf.matmul(C_dx, s1, transpose_a=True, transpose_b=True)
   

这种方法允许PILCO在长期预测中明确考虑模型不确定性。

4. 基于解析梯度的策略优化

4.1 期望回报的计算

PILCO定义了一个基于状态的奖励函数 $r(x)$，通常是一个关于状态与目标状态距离的指数函数：

class ExponentialReward(Module):def compute_reward(self, m, s):# 计算状态分布下的期望奖励及其方差

长期预测的累积奖励作为策略的评估指标：

def predict(self, m_x, s_x, n):# 从初始状态分布预测n步，并累积奖励_, m_x, s_x, reward = tf.while_loop(lambda j, m_x, s_x, reward: j < n,lambda j, m_x, s_x, reward: (j + 1,*self.propagate(m_x, s_x),tf.add(reward, self.reward.compute_reward(m_x, s_x)[0])), loop_vars)return m_x, s_x, reward

4.2 策略梯度优化

PILCO使用解析梯度方法优化策略参数，而不是使用样本估计。这通过TensorFlow的自动微分功能实现：

def training_loss(self):# 计算负期望回报作为损失函数reward = self.predict(self.m_init, self.S_init, self.horizon)[2]return -rewarddef optimize_policy(self, maxiter=50, restarts=1):# 使用梯度下降优化策略参数self.optimizer.minimize(self.training_loss, self.trainable_variables, options=dict(maxiter=maxiter))

为避免局部最优，PILCO支持多次随机重启：

for restart in range(restarts):self.controller.randomize()self.optimizer.minimize(self.training_loss, self.trainable_variables)

5. 控制器设计

PILCO支持多种控制器类型，包括：

5.1 线性控制器

class LinearController(gpflow.Module):def compute_action(self, m, s, squash=True):# 线性映射：u = Wx + bM = m @ tf.transpose(self.W) + self.bS = self.W @ s @ tf.transpose(self.W)# 可选的动作范围限制if squash:M, S, V2 = squash_sin(M, S, self.max_action)

5.2 RBF控制器

class RbfController(MGPR):def compute_action(self, m, s, squash=True):# 使用RBF网络实现非线性控制with tf.name_scope("controller"):iK, beta = self.calculate_factorizations()M, S, V = self.predict_given_factorizations(m, s, 0.0 * iK, beta)

6. PILCO的优势

PILCO具有以下几个显著优势：

1. 数据高效性：PILCO能够以极少的样本数据实现有效学习，这在实际机器人应用中尤为重要。

2. 处理模型不确定性：PILCO明确考虑模型不确定性，并将其纳入长期规划中，这使得算法对模型错误更加鲁棒。

3. 解析梯度优化：通过使用解析梯度而不是样本估计，PILCO能够更高效地优化策略参数。

4. 概率框架：PILCO采用完全概率化的框架，能够系统地处理不确定性。

7. 应用示例

PILCO已成功应用于多种控制任务，如：

• 倒立摆稳定与摆杆上摆
• 双倒立摆控制
• 山地小车问题
• 机器人游泳者控制

在这些任务中，PILCO通常能在几次迭代内学习到有效的控制策略，而传统强化学习方法可能需要数千次迭代。

总结

PILCO算法通过将高斯过程建模与概率推断相结合，实现了高效的策略搜索。其核心创新在于使用概率模型来表示系统动态，并通过矩匹配方法传播不确定性，从而在长期规划中考虑模型误差。这种方法使PILCO在数据效率和鲁棒性方面表现出色，特别适合于实际机器人和控制任务。