一、源码

这段代码实现了一个高精度的正弦函数计算核心（kernel sin function），用于计算在区间约[-π/4, π/4]内的正弦值。

// origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/k_sin.c
//
// ====================================================
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//
// Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
// Permission to use, copy, modify, and distribute this
// software is freely granted, provided that this notice
// is preserved.
// ====================================================const S1: f64 = -1.66666666666666324348e-01; /* 0xBFC55555, 0x55555549 */
const S2: f64 = 8.33333333332248946124e-03; /* 0x3F811111, 0x1110F8A6 */
const S3: f64 = -1.98412698298579493134e-04; /* 0xBF2A01A0, 0x19C161D5 */
const S4: f64 = 2.75573137070700676789e-06; /* 0x3EC71DE3, 0x57B1FE7D */
const S5: f64 = -2.50507602534068634195e-08; /* 0xBE5AE5E6, 0x8A2B9CEB */
const S6: f64 = 1.58969099521155010221e-10; /* 0x3DE5D93A, 0x5ACFD57C */// kernel sin function on ~[-pi/4, pi/4] (except on -0), pi/4 ~ 0.7854
// Input x is assumed to be bounded by ~pi/4 in magnitude.
// Input y is the tail of x.
// Input iy indicates whether y is 0. (if iy=0, y assume to be 0).
//
// Algorithm
//      1. Since sin(-x) = -sin(x), we need only to consider positive x.
//      2. Callers must return sin(-0) = -0 without calling here since our
//         odd polynomial is not evaluated in a way that preserves -0.
//         Callers may do the optimization sin(x) ~ x for tiny x.
//      3. sin(x) is approximated by a polynomial of degree 13 on
//         [0,pi/4]
//                               3            13
//              sin(x) ~ x + S1*x + ... + S6*x
//         where
//
//      |sin(x)         2     4     6     8     10     12  |     -58
//      |----- - (1+S1*x +S2*x +S3*x +S4*x +S5*x  +S6*x   )| <= 2
//      |  x                                               |
//
//      4. sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')*y
//                  ~ sin(x) + (1-x*x/2)*y
//         For better accuracy, let
//                   3      2      2      2      2
//              r = x *(S2+x *(S3+x *(S4+x *(S5+x *S6))))
//         then                   3    2
//              sin(x) = x + (S1*x + (x *(r-y/2)+y))
#[cfg_attr(all(test, assert_no_panic), no_panic::no_panic)]
pub(crate) fn k_sin(x: f64, y: f64, iy: i32) -> f64 {let z = x * x;let w = z * z;let r = S2 + z * (S3 + z * S4) + z * w * (S5 + z * S6);let v = z * x;if iy == 0 { x + v * (S1 + z * r) } else { x - ((z * (0.5 * y - v * r) - y) - v * S1) }
}

二、源码分析

常量定义

代码开头定义了一系列常量S1到S6，这些是泰勒级数展开的系数，用于多项式近似计算正弦函数。每个常量后面都有十六进制表示，这是IEEE 754浮点数的二进制表示。
函数参数

• x: 输入值，假定其绝对值小于约π/4

• y: x的尾部（即x的高精度表示中，除去主要部分后的剩余部分）

• iy: 标志位，指示y是否为0

算法说明

1. 对称性处理：利用sin(-x) = -sin(x)的性质，只需处理正数x的情况。

2. 特殊值处理：调用者需要自己处理sin(-0) = -0的情况，以及非常小的x（sin(x) ≈ x）。

3. 多项式近似：在[0, π/4]区间内，使用13次多项式近似sin(x)，形式为：

sin(x) ≈ x + S1*x³ + ... + S6*x¹³

近似精度非常高，误差不超过2⁻⁵⁸。

4. 尾部修正：当y非零时，使用sin(x+y) ≈ sin(x) + (1 - x²/2)*y进行修正，但为了更高精度，使用了更复杂的修正公式。

代码实现

1. 计算z = x²和w = z²（即x⁴）。

2. 计算多项式r，这是高阶项的组合

r = S2 + z*(S3 + z*S4) + z*w*(S5 + z*S6)

3. 计算v = z*x（即x³）。

4. 根据iy的值选择不同的计算路径：

   • 如果iy == 0（y为零），则计算：

x + v*(S1 + z*r)

这对应于多项式近似的主要部分。

• 如果iy != 0（y非零），则计算更复杂的表达式，包括对y的修正：

x - ((z*(0.5*y - v*r) - y) - v*S1)

精度保证

这个实现使用了高度优化的多项式近似，保证了在目标区间内极高的计算精度（误差不超过2⁻⁵⁸），同时保持了良好的性能。

注意事项

• 调用者需要确保输入x在[-π/4, π/4]范围内。

• 特殊值（如-0.0）需要由调用者处理。

• 对于非常小的x，调用者可以直接使用x近似sin(x)。

这段代码是数学库中的底层函数，通常不会被直接调用，而是由更上层的正弦函数封装后提供给用户。