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1. 线性方程组

• 线性方程：形如$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$的方程，其中$a_i$为已知系数，$x_i$为未知数，$b$是常数项。未知数（也称为元）的个数可以限定描述线性方程，比如含2个未知数的线性方程称为二元线性方程。
• 线性方程组：由多个线性方程组成的系统。$n$元$m$个方程的线性方程组可记作

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
其中$a_{ij}$是第$i$个方程第$j$个未知数的系数，$b_i$是第$i$个方程的常数项，$i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n$。当常数项$b_1,b_2,\dots ,b_m$不全为0时，线性方程组$(1.1)$称为$n$元非齐次线性方程组；当$b_1,b_2,\dots ,b_m$全为0时，线性方程组$(1.1)$称为$n$元齐次线性方程组。

2. 矩阵的引入

观察线性方程组$(1.1)$可以发现，未知数$x_1,x_2,\dots ,x_n$的取值，即线性方程组的解，由$m\times n$个系数$a_{ij}$以及$m$个常数项$b_i$所构成的$m$行$n+1$列的矩形数表所决定，由此引入矩阵的概念。

2.1. 矩阵的定义

由$m\times n$个数$a_{ij}(i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$排成$m$行$n$列的数表称为$m$行$n$列矩阵，简称$m\times n$矩阵，记作

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

数$a_{ij}$称为矩阵$\mathbf{A}$第$i$行第$j$列的元素，$m\times n$矩阵$\mathbf{A}$也记作${\mathbf{A}}_{m\times n}$。

2.2. 常见的矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

行数与列数都等于$n$的矩阵称为$n$阶矩阵或$n$阶方阵，$n$阶矩阵${\mathbf{A}}_{n\times n}$也可以记作${\mathbf{A}}_n$。

只有一行的矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right)$$

称为行向量，为避免写作时元素间的混淆，行向量也记作

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\dots ,a_n\end{array}\right)$$

只有一列的矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$$

称为列向量。

两个矩阵的行数、列数都相等，则称它们是同型矩阵。如果两个矩阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$是同型矩阵，且对应元素相等，那么称两个矩阵相等，记作

$$\mathbf{A}=\mathbf{B}$$

元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作$\mathbf{O}$，注意不同型的零矩阵是不同的。

2.3. 线性方程组中常用的矩阵

对于非齐次线性方程组$(1.1)$有如下几个有用的矩阵：

系数矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

未知数矩阵

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

常数项矩阵

$$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$

增广矩阵

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$

2.4. 线性变换与矩阵

将非齐次线性方程组$(1.1)$中的常数项替换为变量$y_1,y_2,\dots ,y_m$，可以得到一个从变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$到变量$y_1,y_2,\dots ,y_m$的线性变换

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ \dots \dots \\ y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

线性变换与其系数矩阵存在一一对应的关系。

各个维度单独的伸缩变换

$$\{\begin{array}{l}{y}_1={\lambda }_1{x}_1\\ y_2={\lambda }_2{x}_2\\ \dots \dots \\ y_n={\lambda }_n{x}_n\end{array}$$

对应$n$阶方阵

$$\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

这种方阵从左上角到右下角的的直线（即对角线）以外的元素都为0，称为对角矩阵，记作

$$\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\end{array}\right)$$

特别地，当${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=1$时的线性变换称为恒等变换，对应的$n$阶方阵

$$\mathbf{E}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

称为$n$阶单位矩阵。

3. 矩阵的运算

3.1. 矩阵的加法

• 当矩阵$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$是同型矩阵时，$\mathrm{A}+\mathrm{B}$规定为对应元素相加
• 运算律
  • $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{B}+\mathrm{A}$
  • $(\mathrm{A}+\mathrm{B})+\mathrm{C}=\mathrm{A}+(\mathrm{B}+\mathrm{C})$
• 负矩阵：矩阵所有元素取相反数
  • $\mathrm{A}+(-\mathrm{A})=\mathrm{O}$
  • 矩阵的减法：$\mathrm{A}-\mathrm{B}=\mathrm{A}+(-\mathrm{B})$

3.2. 矩阵的数乘

• 数$\lambda$与矩阵$\mathrm{A}$的乘积规定为矩阵$\mathrm{A}$的所有元素与数$\lambda$相乘
• 运算律
  • $(\lambda \mu )\mathrm{A}=\lambda (\mu \mathrm{A})$
  • $(\lambda +\mu )\mathrm{A}=\lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{A}$
  • $\lambda (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\lambda \mathrm{A}+\lambda \mathrm{B}$
• 矩阵加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算

3.3. 矩阵的乘法

已知从$t_1,t_2$到$x_1,x_2,x_3$的线性变换，以及从$x_1,x_2,x_3$到$y_1,y_2$的线性变换：

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3\end{array} \\ \text{\hspace{1em}(3.3.1)} \end{gathered}$$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=b_{11}{t}_1+b_{12}{t}_2\\ x_2=b_{21}{t}_1+b_{22}{t}_2\\ x_3=b_{31}{t}_1+b_{32}{t}_2\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.2)}$$

将$(\mathrm{3.3.2})$代入$(\mathrm{3.3.1})$可以得到从$t_1,t_2$到$y_1,y_2$的线性变换：

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=(a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+a_{13}{b}_{31})t_1+(a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+a_{13}{b}_{32})t_2\\ y_2=(a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}+a_{23}{b}_{31})t_1+(a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}+a_{23}{b}_{32})t_2\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.3)}$$

线性变换$(\mathrm{3.3.3})$称为线性变换$(\mathrm{3.3.1})$与线性变换$(\mathrm{3.3.2})$的乘积，由于线性变换与其系数矩阵存在一一对应的关系，因此可以定义矩阵的乘法：

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+a_{13}{b}_{31}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+a_{13}{b}_{32}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}+a_{23}{b}_{31}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}+a_{23}{b}_{32}\end{array}\right)$$

• 矩阵乘法的定义：设$\mathrm{A}=(a_{ij})$是一个$m\times s$矩阵，$\mathrm{B}=(b_{ij})$是一个$s\times n$矩阵，那么$\mathrm{A}$与$\mathrm{B}$的乘积是一个$m\times n$矩阵$\mathrm{C}=(c_{ij})$，其中

  $$\begin{gathered} c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj} \\ (i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n) \end{gathered}$$

  并把此乘积记作$\mathrm{C}=\mathrm{AB}$

• 矩阵乘法的要求：左矩阵$\mathrm{A}$的列数必须与右矩阵$\mathrm{B}$的行数相等，两个矩阵才能相乘。因此矩阵乘法必须注意相乘的顺序，$\mathrm{AB}$是$\mathrm{A}$左乘$\mathrm{B}$，$\mathrm{BA}$是$\mathrm{A}$右乘$\mathrm{B}$，$\mathrm{AB}$有意义时，$\mathrm{BA}$不一定有意义。

• 矩阵乘法运算律

  • 矩阵乘法不满足交换律：一般情形下，$\mathrm{AB}\ne \mathrm{BA}$。若$\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$，则称方阵$\mathrm{A}$与$\mathrm{B}$是可交换的。
  • 矩阵乘法不满足消除律：若$\mathrm{AB}=\mathrm{O}$，不能得出$\mathrm{A}=\mathrm{O}$或$\mathrm{B}=\mathrm{O}$。
  • 矩阵乘法满足结合律
    • $(\mathrm{AB})\mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC})$
    • $\lambda (\mathrm{AB})=(\lambda \mathrm{A})\mathrm{B}=\mathrm{A}(\lambda \mathrm{B})$
  • 矩阵乘法满足分配律
    • $\mathrm{A}(B+C)=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}$
    • $(B+C)\mathrm{A}=\mathrm{BA}+\mathrm{CA}$
  • 单位矩阵与矩阵的乘法：$\mathrm{AE}=A=\mathrm{EA}$

• 矩阵的幂：设$\mathrm{A}$是$n$阶方阵，定义${\mathrm{A}}^1=\mathrm{A},{\mathrm{A}}^2={\mathrm{A}}^1{\mathrm{A}}^1,\dots ,{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{A}}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{A}$。

• 矩阵幂的运算律：

  • ${\mathrm{A}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}={\mathrm{A}}^{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}$
  • ${\mathrm{A}}^{\mathrm{mn}}=({\mathrm{A}}^{\mathrm{m}}{)}^{\mathrm{n}}$
  • 一般情形下，$(\mathrm{AB}{)}^{\mathrm{n}}\ne {\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{n}}$，只有当$\mathrm{A}$与$\mathrm{B}$可交换时，$(\mathrm{AB}{)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{n}}$成立。类似的$(\mathrm{A}+\mathrm{B}{)}^2={\mathrm{A}}^2+2AB+{\mathrm{B}}^2,(\mathrm{A}-\mathrm{B})(\mathrm{A}+\mathrm{B})={\mathrm{A}}^2-{\mathrm{B}}^2$等公式，只有当$\mathrm{A}$与$\mathrm{B}$可交换时才成立。

• 利用矩阵乘法可以简化线性方程组和线性变换的表达。比如$n$元非齐次线性方程组$(1.1)$可以表示为矩阵方程${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}\times 1}={\mathrm{b}}_{\mathrm{m}\times 1}$，线性变换$(2.1)$可以表示为矩阵方程$\mathrm{y}=\mathrm{Ax}$。

3.4. 矩阵的转置

• 设$\mathrm{A}=(a_{ij})$是一个$m\times n$矩阵，将$\mathrm{A}$的行与列互换，得到一个$n\times m$矩阵，称为$\mathrm{A}$的转置矩阵，记作${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=(a_{ji})$，其中$a_{ji}=a_{ij}$。
• 运算律（假设运算都是可行的）
  • $({\mathrm{A}}^T{)}^T=\mathrm{A}$
  • $(\mathrm{A}+\mathrm{B}{)}^T={\mathrm{A}}^T+{\mathrm{B}}^T$
  • $(\lambda \mathrm{A}{)}^T=\lambda {\mathrm{A}}^T$
  • $(\mathrm{AB}{)}^T={\mathrm{B}}^T{\mathrm{A}}^T$
• 设$\mathrm{A}$是$n$阶方阵，如果满足${\mathrm{A}}^T=\mathrm{A}$，那么称$\mathrm{A}$为对称矩阵。对称矩阵的元素以主对角线为轴对应相等。

3.5. 方阵的行列式

• 行列式的引入、性质和定理参见【线性代数】线性方程组与矩阵——行列式。
• 行列式的运算律
  • $|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}|=|A|$
  • $|\lambda A|={\lambda }^{\mathrm{n}}|A|$
  • $|AB|=|A||B|$
    • $|A||B|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ -E& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& AB\\ -E& O\end{array}\right|=(-1{)}^{\mathrm{n}}\left|\begin{array}{cc}-E& O\\ A& AB\end{array}\right|=|AB|$
• 将行列式 $|\mathrm{A}|$ 中的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 构成如下的矩阵：
  $${\mathrm{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \dots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \dots & A_{nn}\end{array}\right)$$
  称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的伴随矩阵。
• 伴随矩阵的性质：$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\ast }={\mathrm{A}}^{\ast }\mathrm{A}=|A|E$。利用了行列式展开定理，$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=\{\begin{array}{ll}|\mathrm{A}|,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$，$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\ast }={\mathrm{A}}^{\ast }\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cccc}|A|& & & \\ & |A|& & \\ & & \ddots & \\ & & & |A|\end{array}\right)=|A|E$
• 伴随矩阵的运算律
  • $(\mathrm{AB}{)}^{\ast }={\mathrm{B}}^{\ast }{\mathrm{A}}^{\ast }$

3.6 逆矩阵

• 对于 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}$，如果存在一个 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{B}$，使得$\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{E}$，那么称矩阵 $\mathrm{A}$ 是可逆的，并把 $\mathrm{B}$ 称为 $\mathrm{A}$ 的逆矩阵，记作 ${\mathrm{A}}^{-1}$。
  • 如果 $\mathrm{A}$ 是可逆的，那么 $\mathrm{A}$ 的逆矩阵是唯一的。先假设 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ 都是 $\mathrm{A}$ 的逆矩阵，然后证明 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ 相等。
• 若矩阵 $\mathrm{A}$ 是可逆的，那么 $|A|\ne 0$。因为 $|A||{\mathrm{A}}^{-1}|=|{\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{A}|=|E|=1$，所以 $|A|\ne 0$。
• 若 $|A|\ne 0$，则矩阵 $\mathrm{A}$ 是可逆的，且 ${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{1}{|A|}{\mathrm{A}}^{\ast }$。如果 $|A|\ne 0$，根据伴随矩阵的性质，可以找到符合条件的唯一的逆矩阵。
• 当 $|A|=0$时，$\mathrm{A}$ 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。因此，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
• 若 $\mathrm{AB}=\mathrm{E}$ （或 $\mathrm{BA}=\mathrm{E}$），则 $\mathrm{B}={\mathrm{A}}^{-1}$。只需逆矩阵定义的一半条件，就能推导出逆矩阵。因为 $\mathrm{AB}=\mathrm{E}$ （或 $\mathrm{BA}=\mathrm{E}$）可以得到 $|A||B|=1$，即 $|A|\ne 0$。
• 逆矩阵的运算律
  • 若 $\mathrm{A}$ 可逆，则 ${\mathrm{A}}^{-1}$ 可逆，且 $({\mathrm{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathrm{A}$。将 $\mathrm{A}$ 与 ${\mathrm{A}}^{-1}$ 换位思考。
  • 若 $\mathrm{A}$ 可逆，数 $\lambda \ne 0$，则 $\lambda \mathrm{A}$ 可逆，且 $(\lambda \mathrm{A}{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{\mathrm{A}}^{-1}$。常数不会影响可逆性。
  • 若 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $\mathrm{AB}$ 亦可逆，且 $(\mathrm{AB}{)}^{-1}={\mathrm{B}}^{-1}{\mathrm{A}}^{-1}$。$|AB|\ne 0$。
  • 若 $\mathrm{A}$ 可逆，则 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$ 亦可逆，且 $({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=({\mathrm{A}}^{-1}{)}^T$。$|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}|=|A|\ne 0$。
  • 若 $\mathrm{A}$ 可逆，则 ${\mathrm{A}}^{\ast }$ 亦可逆，且 $({\mathrm{A}}^{\ast }{)}^{-1}=({\mathrm{A}}^{-1}{)}^{\ast }$。$|A{\mathrm{A}}^{\ast }|=|A{|}^{\mathrm{n}}$
• 设 $\phi (x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m$，$\mathrm{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $\phi (\mathrm{A})=a_0\mathrm{E}+a_1\mathrm{A}+\cdots +a_m{\mathrm{A}}^m$，则 $\phi (\mathrm{A})$ 称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的 $m$ 次多项式。
  • 矩阵 $\mathrm{A}$ 的两个多项式 $\phi (\mathrm{A})$ 与 $f(\mathrm{A})$ 是可交换的，即 $\phi (\mathrm{A})f(\mathrm{A})=f(\mathrm{A})\phi (\mathrm{A})$。因此可以像数的多项式一样相乘和分解因式。
  • 如果 $\mathrm{A}=\mathrm{P\Lambda }{\mathrm{P}}^{-1}$，则 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{k}}=\mathrm{P}{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{k}}{\mathrm{P}}^{-1}$，从而 $\phi (\mathrm{A})=\mathrm{P}\phi (\mathrm{\Lambda }){\mathrm{P}}^{-1}$
  • 如果 $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$，则 ${\mathrm{\Lambda }}^k=\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\dots ,{\lambda }_n^k)$，从而 $\phi (\mathrm{\Lambda })=\mathrm{diag}(\phi ({\lambda }_1),\phi ({\lambda }_2),\dots ,\phi ({\lambda }_n))$。

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