1. 微分方程 (Differential Equation):

   • 含义： 包含未知函数及其导数（或微分）的方程。
   • 例子： dy/dx = 2x（未知函数是 y(x)，导数是 dy/dx）, d²y/dt² + 2 dy/dt + y = 0（未知函数是 y(t)，导数是 dy/dt 和 d²y/dt²）。

2. 线性 (Linear):

   • 含义： 这是对微分方程中未知函数及其各阶导数出现形式的限制。一个微分方程是线性的，当且仅当：
     • 未知函数 y 及其所有导数 y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾ 在整个方程中都只以一次幂（线性） 的形式出现。
     • 这些项不能互相乘除。
     • 不能包含未知函数或其导数的非线性函数（如 (y')², sin(y), y * y'', eʸ, √y 等）。
   • 核心性质： 线性微分方程满足叠加原理：如果 y₁ 和 y₂ 是方程的解，那么它们的任意线性组合 c₁y₁ + c₂y₂（其中 c₁, c₂ 是任意常数）也是该方程的解。
   • 例子 (线性)：
     • y'' + 3y' + 2y = 0 （y, y', y'' 都是一次项）
     • x² y''' - sin(x) y' + eˣ y = 0 （虽然系数 x², -sin(x), eˣ 是 x 的函数，但 y, y', y''' 都是一次项）
   • 反例 (非线性)：
     • (y')² + y = 0 （(y')² 是 y' 的二次项）
     • y * y'' + y' = 0 （y 和 y'' 相乘）
     • y'' + sin(y) = 0 （sin(y) 是 y 的非线性函数）

3. 齐次 (Homogeneous):

   • 含义： 在线性微分方程的语境下，“齐次”特指方程中不包含仅由自变量构成的项（即“自由项”或“非齐次项”）。简单说，就是等号右边恒等于零。
   • 形式： 方程的标准形式是 L[y] = 0，其中 L 是一个线性微分算子（作用于 y 及其导数的线性组合）。
   • 例子 (齐次)：
     • y'' + 4y' + 3y = 0
     • t² d²x/dt² - t dx/dt + 5x = 0
   • 反例 (非齐次)：
     • y'' + 4y' + 3y = eᵗ （右边是 eᵗ，非零）
     • y'' + 4y' + 3y = 5 （右边是常数 5，非零）
     • y'' + 4y' + 3y = sin(t) （右边是 sin(t)，非零）

4. 常系数 (Constant Coefficients):

   • 含义： 方程中未知函数 y 及其各阶导数 y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾ 前面的系数（乘数）都是常数（不依赖于自变量 x 或 t）。
   • 例子 (常系数)：
     • 3y'' - 2y' + 7y = 0 （系数 3, -2, 7 都是常数）
     • y''' + 5y' + y = 0 （系数 1 (隐含), 5, 1 都是常数）
   • 反例 (变系数)：
     • x² y'' + x y' + y = 0 （系数 x², x 依赖于自变量 x）
     • y'' + (sin t) y' + t y = 0 （系数 sin t, t 依赖于自变量 t）

5. n阶 (n-th Order):

   • 含义： 指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数是 n。
   • 重要性： n 阶微分方程的通解中通常包含 n 个相互独立的任意常数。这 n 个常数需要由 n 个初始条件或边界条件来确定特解。
   • 例子：
     • dy/dx = 2x （最高阶导数是 dy/dx，阶数为 1，是一阶方程）
     • d²θ/dt² + (g/L) sinθ = 0 （最高阶导数是 d²θ/dt²，阶数为 2，是二阶方程）注意：这个是非线性的（因为 sinθ）
     • d⁴y/dx⁴ - 16y = 0 （最高阶导数是 d⁴y/dx⁴，阶数为 4，是四阶方程）

总结：

一个 n阶常系数齐次线性微分方程 是指一个具有以下所有特征的微分方程：

1. 包含未知函数及其导数。 (微分方程)
2. 未知函数及其各阶导数在方程中仅以一次幂（线性）形式出现，且不互相乘除。 (线性)
3. 方程等于零，没有仅由自变量构成的非零项。 (齐次)
4. 未知函数及其各阶导数前面的系数都是常数。 (常系数)
5. 方程中出现的最高阶导数的阶数是 n。 (n阶)

标准形式：
这种方程的标准形式可以写成：
aₙ * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁ * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a₁ * dy/dx + a₀ * y = 0
其中：

• y 是未知函数（通常是 x 或 t 的函数）。
• dᵏy/dxᵏ 是 y 的 k 阶导数。
• aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ 都是常数 (aₙ ≠ 0)。
• 方程右边是 0 (齐次)。
• 最高阶导数是 dⁿy/dxⁿ (n阶)。

理解这些术语是求解和分析这类微分方程的基础，因为它们决定了方程解的结构（通解包含 n 个独立任意常数）和求解方法（如特征方程法）。