CF2133C 下界（The Nether）

洛谷题目传送门

题目描述

这是一道交互题。

最近发现下界（The Nether）后，Steve 在他的世界中建造了一个由 $n$ 个下界传送门组成的网络，每个传送门位于不同的位置。

每个传送门都单向连接到若干（可能为零）其他传送门。为避免迷路，Steve 精心构建了这个传送门网络，确保不存在通过传送门跳跃能从某个位置回到自身的情况；严格来说，该网络构成一个有向无环图（DAG）。

Steve 拒绝告诉你哪些传送门相互连接，但允许你进行查询。每次查询时，你给 Steve 一个位置集合 S={s1,s2,…,sk}S = \{s_1, s_2, \ldots, s_k\}S={s1​,s2​,…,sk​} 和一个起始位置 $x\in S$。Steve 会找出从 $x$ 出发、仅经过 $S$ 中位置的最长路径，并告诉你该路径经过的位置数量（若无法从 $x$ 到达 $S$ 中任何其他位置，Steve 会回复 $1$）。

由于你希望获得“热门景点成就，你需要找到一条访问尽可能多位置的路径。Steve 特别慷慨，允许你使用最多 $2\cdot n$ 次查询来找出答案。

输入格式

每个测试包含多个测试用例。第一行包含测试用例数量 $t$（$1\le t\le 1000$）。接下来描述每个测试用例。

每个测试用例仅有一行，包含一个整数 $n$（$2\le n\le 500$）——表示位置数量。

保证所有测试用例的 $n^3$ 之和不超过 $500^3$。

输出格式

无

输入输出样例 #1

输入 #1

2
53321211

输出 #1

? 1 4 1 2 3 4? 3 3 4 3 2? 5 2 1 5? 2 2 2 4! 4 5 1 4 2? 1 2 1 2? 2 2 1 2! 1 1

说明/提示

第一个测试用例中，传送门网络结构如下：

• 从位置 $1$ 出发、仅经过集合 {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}{1,2,3,4} 的最长路径是 $1\to 4\to 2$，该路径包含 $3$ 个不同位置。
• 从位置 $3$ 出发、仅经过集合 {2,3,4}\{2, 3, 4\}{2,3,4} 的最长路径是 $3\to 4\to 2$，该路径包含 $3$ 个不同位置。
• 从位置 $5$ 出发、仅经过集合 {1,5}\{1, 5\}{1,5} 的最长路径是 $5\to 1$，该路径包含 $2$ 个不同位置。
• 从位置 $2$ 出发无法到达集合 {2,4}\{2, 4\}{2,4} 中的任何其他位置，因此 Steve 对该查询回复 $1$。

利用这些查询信息，可确定最长路径为 $5\to 1\to 4\to 2$。

第二个测试用例中，传送门网络结构如下：

两个传送门之间没有相互连接，因此最长路径仅包含单个位置。注意：输出 ! 1 2 同样是一个有效答案。

思路详解

题目分析

我们有$2N$词的询问机会，思考如何求出最长路及最长路上的节点？？？如果只是求最长路，我们只需要以每个节点为起点，让$S$包含所有节点，询问$N$次即可。可是如何求出最长路上的节点呢？求最长路长度的询问次数肯定变不了，我们一定要在$N$询问以内求出最长路上的节点。

我们返现我们通过询问最长路长度可以知道最长路的起点，考虑如何求出其他节点？我们发现对于两个点$u,v$如果有一条边$u->v$，则询问 ? u 2 u v 的答案必定为2。那我们难道要从起始节点将这个图还原出来？显然我们没有$N^2$的询问次数。

我们发现若从最长路起点$u$开始的最长路长度为$len$，则$u$在最长路上的下一个节点$v$，从$v$开始的最长路的长度必定为$len-1$。

那我们每次只需要去询问最长路长度为$len-1$的节点$v$是否与节点$u$相连，相连则在找与$v$相连的…最后找到的节点$len=1$。

过程分析

我们的具体过程如下：

1. 首先进行$N$次询问求解最长路及其起点。
2. 在依次寻找最长路上的其他节点。
3. 最后输出答案即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T;
const int N=505;
struct node{int x,id;friend bool operator<(node t1,node t2){return t1.x>t2.x;}
}js[N];
int ans[N];
int main(){
//根据题目，我们可以提问2n次，我们需要求出最长路及最长路上的节点
//考虑先询问n次求出最长路，并记录从每个点开始的最长路
//我们找到了最长路的长度和最长路的起始点，考虑如何求出其他点
//我们发现，若有一条边u->v，则询问? u 2 u v必定为2
//所以我们可以一次遍历当前最长路长度i，寻找节点的最长路为i-1且这两点相连，这个节点即为当前节点在最长路中的上一个节点cin>>T;while(T--){int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cout<<'?'<<' '<<i<<' '<<n<<' ';for(int j=1;j<=n;j++)cout<<j<<' ';cout<<'\n';cout.flush();//询问每个节点的最长路径int x;cin>>x;js[i].x=x;js[i].id=i;//记录}sort(js+1,js+1+n);int beg=js[1].id,o=1;//取最长路径ans[o]=js[1].id;for(int i=js[1].x-1;i>=1;i--){//遍历最长路的长度for(int j=1;j<=n;j++){if(js[j].x==i){cout<<'?'<<' '<<beg<<' '<<2<<' '<<beg<<' '<<js[j].id<<'\n';cout.flush();//询问判断两个节点是否相连int x;cin>>x;if(x==2){beg=js[j].id;break;}}}ans[js[1].x-i+1]=beg;//记录当前节点}cout<<'!'<<' '<<js[1].x<<' ';//输出答案for(int i=1;i<=js[1].x;i++)cout<<ans[i]<<' ';cout<<'\n';cout.flush();}return 0;
}