在介绍统计学中最重要的定理之一-中心极限定理-之前，我们先来想一个问题：统计学的目的是什么？根据<Mathematical statistics with application 7th Edition>书中所写的：

统计学的目的是基于从总体中的样本所获得的信息，对总体进行推断，并且提供推断的准确性。

这其中有几个关键词：总体，样本，推断。总体的含义就是所研究对象的所有可能的数据，比如，全世界每个人的身高，工厂上个月生产出来的每个灯泡的寿命等等。样本的概念是从总体中衍生出来的，比如，全世界任意20个人的身高，工厂上个月任意100个灯泡的寿命，样本就是总体的一个子集。通常情况下总体的数据是难以获得的，而样本是容易得到的，所以统计学的目的就是从样本数据来推断总体。

接下来我们通过一个实际例子来介绍中心极限定理：

一个工厂所生产的灯泡的平均寿命是1000小时，方差是25个小时。我买了36个灯泡装在家里，那么这个9个灯泡的平均寿命超过1005小时的概率是多少

求解问题的第一步是将实际问题抽象出数学模型。在实际应用中，数学模型的建立远远要比解题方法更重要。首先定义随机变量：

由题中信息可得：

那么问题的求解转化为求解

。

我们并不知道随机变量

的概率分布，因此我们需要将其转化为概率分布已知的随机变量，这里就需要用到中心极限定理：

设定有

个独立且完全相同的随机变量

，他们的期望

，方差

。定义随机变量：

那么，当

趋向于无穷大时，随机变量

趋向于标准正态分布。

回到我们的问题，求解

，我们并不清楚

这个随机变量的概率分布，但是根据中心极限定理，我们知道

的概率分布近似为标准正态分布（当

足够大时），其中

为总体的均值，在此题中为1000，

为标准差，在此题中为5，

为样本数量，在此题中为样本灯泡的数量36。那么有：

其中

近似服从标准正态分布

，从可以求得

的概率。

中心极限定理实际上是揭示了任意一个总体中样本均值的分布规律。

通常在教科书中，在描述完中心极限定理后，会出现3个字：证明略。接下来本文使用随机变量特征函数的方式来对其进行证明。

首先，引入随机变量特征函数的概念。对于随机变量

，定义其特征函数为：

，其中

为任意实数。

那么对于

，其特征函数为：

，

为

的特征函数。

在0点处的泰勒展开形式为：

所以，

为：

而标准正态分布

特征函数也为

，根据特征函数的唯一性定理，所以

服从标准正态分布，证毕。