切比雪夫不等式专题习题解析

前言

本文为概率论习题集专栏的切比雪夫不等式专题习题解析，针对习题篇中的10道题目提供详细解答。希望通过这些解析帮助大家深入理解切比雪夫不等式的应用和意义。

一、基础概念题解析

习题1解析：

1. 错误。切比雪夫不等式适用于任何具有有限方差的随机变量，包括离散型和连续型随机变量。它只要求随机变量的期望和方差存在有限值。

2. 错误。切比雪夫不等式给出的是概率的上界：$P(|X-E(X)|\ge \epsilon )\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$，或等价地，给出概率的下界：$P(|X-E(X)|<\epsilon )\ge 1-\frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$。

3. 正确。由切比雪夫不等式，$P(|X-E(X)|\ge 2\sigma )\le \frac{D(X)}{(2\sigma {)}^2}=\frac{{\sigma }^2}{4{\sigma }^2}=\frac{1}{4}=0.25$。

4. 正确。当$D(X)\to 0$时，由切比雪夫不等式，对于任意$\epsilon >0$，$P(|X-E(X)|\ge \epsilon )\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}\to 0$，即$P(|X-E(X)|<\epsilon )\to 1$。这意味着随机变量X几乎必然等于其期望值。

习题2解析：

1. $P(|X-10|\ge 6)\le \frac{D(X)}{6^2}=\frac{9}{36}=0.25$

2. $P(7\le X\le 13)=P(|X-10|<3)\ge 1-\frac{D(X)}{3^2}=1-\frac{9}{9}=0$

   这里得到的下界为0，实际上不具有信息量。这表明切比雪夫不等式在某些情况下可能不够紧。实际上，正确的计算应该是：

   $P(7\le X\le 13)=P(|X-10|\le 3)\ge 1-\frac{D(X)}{3^2}=1-\frac{9}{9}=0$

   由于此处边界情况（$|X-10|=3$）的概率通常为0（对连续变量），所以也可以写成：

   $P(7<X<13)=P(|X-10|<3)\ge 1-\frac{9}{9}=0$

3. $P(|X-10|\ge 3)\le \frac{D(X)}{3^2}=\frac{9}{9}=1$

   这个上界为1，显然不够紧，因为任何概率都不会超过1。

二、计算应用题解析

习题3解析：

1. 寿命在700小时到1300小时之间的灯泡比例：

   $P(700\le X\le 1300)=P(|X-1000|\le 300)\ge 1-\frac{}{300^2}$