矩阵乘法是神经网络、图形学、科学计算等领域的核心运算，用于高效处理线性变换和批量数据计算。以下是其数学定义、计算规则及实际应用的系统解析。

---

1. 数学定义

---

2. 计算步骤（示例）

---

3. 代码实现

(1) Python（NumPy）

import numpy as npA = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])# 矩阵乘法
C = np.dot(A, B)  # 或 A @ B
print(C)

输出：

[[19 22][43 50]]

(2) 手动实现（Python）

def matrix_multiply(A, B):m = len(A)n = len(A[0])p = len(B[0])C = [[0] * p for _ in range(m)]for i in range(m):for j in range(p):for k in range(n):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return CA = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[5, 6], [7, 8]]
print(matrix_multiply(A, B))

---

4. 关键性质

---

5. 在神经网络中的应用

(1) 前向传播

(2) 批量处理

一次计算多个样本（高效利用硬件并行性）：

# X形状：(100, 784), W形状：(784, 128) → 输出形状：(100, 128)
Z = np.dot(X, W) + b

---

6. 常见误区与验证

(1) 维度匹配

(2) 逐元素乘法 vs 矩阵乘法

• 逐元素乘法（Hadamard积）：A * B（要求同形状）。
• 矩阵乘法：A @ B 或 np.dot(A, B)（遵循维度规则）。

---

7. 性能优化

(1) 使用BLAS库

NumPy底层调用BLAS（如OpenBLAS、MKL）加速矩阵运算。

(2) GPU加速

import torchA_gpu = torch.tensor(A, device='cuda')
B_gpu = torch.tensor(B, device='cuda')
C_gpu = torch.mm(A_gpu, B_gpu)  # 比CPU快数十倍

(3) 稀疏矩阵优化

对大量零元素的矩阵（如自然语言处理的词向量），使用稀疏格式（如CSR）节省内存。

---

8. 数学扩展

(1) 张量乘法

高阶张量（如3D）的乘法需指定收缩轴，例如：

# 三维张量乘法（einsum表示法）
C = np.einsum('ijk,kl->ijl', A_3d, B_2d)

(2) 外积（Outer Product）

---

9. 总结

• 核心规则：行点积列，维度需匹配。
• 应用场景：神经网络权重计算、图像变换、推荐系统。
• 优化方向：并行计算、硬件加速、稀疏化处理。

矩阵乘法是机器学习的“基石运算”，掌握其原理和实现能深入理解模型底层运作！