题目链接
LeetCode两数之和
题目描述
题目解析
注意：前提条件：输入的数组numbers是已排序的。
核心思路：双指针法
利用数组已排序的特性，通过两个指针从两端向中间移动，快速定位符合条件的两个数，时间复杂度为O(n)（n 为数组长度），空间复杂度为O(1)，比哈希表解法更优。
具体步骤：
-
初始化指针：
left指针指向数组起始位置（下标 0）。right指针指向数组末尾位置（下标numbers.size()-1）。
-
循环查找目标和：
- 计算两指针指向元素的和
sum = numbers[left] + numbers[right]。 - 若
sum > target：说明右侧元素过大，将right指针左移（right--），减小总和。 - 若
sum < target：说明左侧元素过小，将left指针右移（left++），增大总和。 - 若
sum == target：找到符合条件的两个元素，返回它们的下标（注意 + 1，因为题目要求从 1 开始计数）。
- 计算两指针指向元素的和
-
边界处理：
- 若循环结束仍未找到（理论上题目保证有解，此步可省略），返回
{-1, -1}。
- 若循环结束仍未找到（理论上题目保证有解，此步可省略），返回
示例说明：
假设输入：numbers = [2, 7, 11, 15]，target = 9。
- 初始
left=0（值 2），right=3（值 15），sum=17 > 9→right--（指向 11）。 - 新
sum=2+11=13 > 9→right--（指向 7）。 - 新
sum=2+7=9 == target→ 返回{0+1, 1+1} = {1, 2}。
完整代码
复杂度分析
1. 时间复杂度：O (n)
- 分析：算法使用双指针（
left和right）从数组两端向中间移动，每次循环仅移动一个指针，直到两指针相遇（left >= right）。 - 最坏情况：两个指针总共移动的次数不会超过数组长度
n（例如，目标值需要最小元素和最大元素相加时，指针从两端移动到相遇，总步数为n级）。 - 结论：时间复杂度为 O(n)，其中
n是数组numbers的长度。
2. 空间复杂度：O (1)
- 分析：算法仅使用了常数个额外变量（
left、right、sum），没有使用与输入规模相关的额外空间（如哈希表、数组等）。 - 结论：空间复杂度为 O(1)，属于原地（in-place）算法。
如果是无序的，这里我们可以使用哈希表来解决！
哈希表法（无序）
解法思路：哈希表（空间换时间）
这个解法的核心是利用 哈希表（unordered_map） 存储已经遍历过的元素及其下标，通过一次遍历就能找到答案，避免了暴力解法的二次循环。
具体逻辑：
- 遍历数组中的每个元素
nums[j]（j是当前下标） - 计算与当前元素互补的数值：
complement = target - nums[j] - 检查哈希表中是否存在
complement：
- 若存在，说明之前已经遍历过值为
complement的元素（下标为i），则i和j就是答案 - 若不存在，将当前元素
nums[j]和其下标j存入哈希表，继续遍历
代码执行流程（分步演示）
-
我们以
nums = [5, 4, 3, 2, 8]且target = 12为例，详细演示代码的执行过程。预期结果
在这个例子中，数组中 4 + 8 = 12，对应的下标是
1和4，因此最终应该返回[1, 4]。代码执行步骤拆解
我们按照代码的执行顺序，一步步分析哈希表的变化和每轮循环的操作：
-
初始化：
- 创建空哈希表
idx = {}（用于存储已遍历元素的值和下标） - 循环变量
j从0开始
- 创建空哈希表
-
第一轮循环（j=0，当前元素 nums [0]=5）：
- 计算互补值：
complement = target - nums[j] = 12 - 5 = 7 - 检查哈希表
idx中是否存在7：此时哈希表为空，未找到 - 将当前元素存入哈希表：
idx[5] = 0（现在哈希表为{5:0}） - 继续下一轮循环
- 计算互补值：
-
第二轮循环（j=1，当前元素 nums [1]=4）：
- 计算互补值：
complement = 12 - 4 = 8 - 检查哈希表
idx中是否存在8：当前哈希表只有5，未找到 - 将当前元素存入哈希表：
idx[4] = 1（现在哈希表为{5:0, 4:1}） - 继续下一轮循环
- 计算互补值：
-
第三轮循环（j=2，当前元素 nums [2]=3）：
- 计算互补值：
complement = 12 - 3 = 9 - 检查哈希表
idx中是否存在9：哈希表中只有5和4，未找到 - 将当前元素存入哈希表：
idx[3] = 2（现在哈希表为{5:0, 4:1, 3:2}） - 继续下一轮循环
- 计算互补值：
-
第四轮循环（j=3，当前元素 nums [3]=2）：
- 计算互补值：
complement = 12 - 2 = 10 - 检查哈希表
idx中是否存在10：哈希表中没有10，未找到 - 将当前元素存入哈希表：
idx[2] = 3（现在哈希表为{5:0, 4:1, 3:2, 2:3}） - 继续下一轮循环
- 计算互补值：
-
第五轮循环（j=4，当前元素 nums [4]=8）：
- 计算互补值：
complement = 12 - 8 = 4 - 检查哈希表
idx中是否存在4：此时哈希表中存在4，对应的下标是1（即idx[4] = 1） - 找到答案，直接返回
[1, 4]（互补元素的下标1和当前元素的下标4） - 程序结束
- 计算互补值：
-
代码细节解析
完整代码
-
哈希表的作用：
unordered_map<int, int> idx中，key 是数组元素的值，value 是该元素的下标- 哈希表的查找操作是 O(1) 时间复杂度，比数组查找（O (n)）快得多
-
循环设计：
- 原代码中的
for (int j = 0; ; j++)其实隐含了j < nums.size()的条件（题目保证有解，所以一定会在循环内返回） - 标准写法应该是
for (int j = 0; j < nums.size(); j++)，更严谨
- 原代码中的
-
避免重复使用元素：
- 因为我们是先检查哈希表，再将当前元素存入哈希表，所以哈希表中永远只包含「当前元素之前的元素」
- 这就保证了不会出现「自己和自己相加」的情况（例如
nums = [3,3]时，第一个 3 存入哈希表后，第二个 3 才会查找并命中）
-
返回值：
- 题目保证有且仅有一个解，所以循环内一定会找到答案并返回
- 理论上不需要最后的
return {}，但为了满足 C++ 语法（函数必须有返回值），通常会加上
时间复杂度为 O(n)
)
 --运算符重载)
