要将涡旋场与挠场的动态对偶性以麦克斯韦方程组的形式嵌入爱因斯坦-嘉当理论的弯曲时空框架中。

一、符号与几何基础

1. 基本张量定义

· 度规张量： g_{\mu\nu} （描述时空弯曲， \mu,\nu = 0,1,2,3 ）。
· 仿射联络： \Gamma^\lambda_{\mu\nu} （由度规导出，描述协变导数的“联络”）。
· 挠率张量： T^\lambda_{\mu\nu} = \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\nu\mu} （时空的扭转，反对称于  \mu,\nu ）。
· 黎曼曲率张量：
R^\rho_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}
（时空的弯曲，对称于  \mu,\nu  与  \rho,\sigma  的反对称组合）。
· 挠率电流： S^{\mu\nu}_\alpha （物质的自旋角动量密度，反对称于  \mu,\nu ，对应自旋张量的空间分量）
· 涡旋场： G^\mu （类比磁场的一形式，描述自旋流的集体相干态）。
· 挠场： T_{\mu\nu} （二阶张量，描述时空扭转的强度与方向）。

2. 协变导数与外微分

· 协变导数： \nabla_\lambda V^\mu = \partial_\lambda V^\mu + \Gamma^\mu_{\lambda\rho} V^\rho （对矢量场  V^\mu  的协变导数）。
· 外微分： \mathrm{d} \omega^\mu = \mathrm{d}x^\nu \wedge \partial_\nu \omega^\mu （对微分形式  \omega^\mu  的外微分，类比旋度）。

二、涡旋场的“麦克斯韦式”方程

1. 涡旋场的“法拉第定律”（旋度激发挠率）

类比电磁学中“变化的磁场激发电场”，涡旋场的空间旋度激发挠率的空间部分：

\nabla_\lambda G^\mu - \Gamma^\mu_{\lambda\nu} G^\nu = J^{\mu}_{\text{spin}} + \alpha \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} R_{\nu\rho\tau\sigma} G^\tau

解释：

· 左侧：涡旋场在弯曲时空中的协变旋度（ \nabla_\lambda G^\mu ）减去联络项（ \Gamma^\mu_{\lambda\nu} G^\nu ），类比法拉第定律的  \nabla \times \mathbf{B} 。
· 右侧第一项：自旋电流密度  J^{\mu}_{\text{spin}} （类比电荷电流  \mathbf{J} ），是挠率的源。
· 右侧第二项：挠率诱导的涡旋场自相互作用（ \alpha  为耦合常数），类比磁单极子电流的自相互作用。

外微分形式： 令 G = G_\mu \mathrm{d}x^\mu （一形式），则旋度对应  \mathrm{d}G ：

\mathrm{d}G = \frac{1}{2} \left( \nabla_\lambda G_\mu - \nabla_\mu G_\lambda \right) \mathrm{d}x^\lambda \wedge \mathrm{d}x^\mu = J_{\text{spin}} + \alpha \star R \wedge G

其中  J_{\text{spin}} = \frac{1}{6} S^{\mu\nu}_\alpha \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \mathrm{d}x^\rho \wedge \mathrm{d}x^\sigma （自旋电流的三形式）， \star R  为黎曼张量的对偶。

2. 涡旋场的“高斯定律”（散度为零）

类比电磁学中“磁场无散”，涡旋场在弯曲时空中也满足无散性（角动量守恒）：

\nabla_\mu G^\mu = 0

解释： 涡旋场的散度为零，对应自旋角动量的守恒（无净自旋源或汇）。

三、挠场的“麦克斯韦式”方程

1. 挠场的“安培-麦克斯韦定律”（时间变化激发涡旋场）

类比电磁学中“变化的电场激发磁场”，挠场的时间变化率与空间旋度共同激发涡旋场的时间演化：

\nabla_\mu T^{\mu\nu} = g \epsilon^{\nu\alpha\beta} \partial_\alpha G_\beta + \beta \left( G^\nu G^\alpha G_\alpha - \frac{1}{4} g^\nu_\alpha G^\alpha G^\beta G_\beta \right)

解释：

· 左侧：挠场的协变散度（ \nabla_\mu T^{\mu\nu} ），类比安培-麦克斯韦定律的  \nabla \cdot \mathbf{E} （电场散度对应电荷密度）。
· 右侧第一项：涡旋场的空间旋度激发的挠率源（ g  为耦合常数），类比电流激发磁场。
· 右侧第二项：挠率的非线性自相互作用（ \beta  为强度），类比磁单极子电流的自相互作用。

外微分形式： 令 T = \frac{1}{2} T_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu （二形式），则散度对应  \mathrm{d}\star T ：

\mathrm{d}\star T = g \star \mathrm{d}G + \beta G \wedge G

2. 挠场的“法拉第定律”（时间变化激发涡旋场）

类比电磁学中“变化的磁场激发电场”，挠场的空间旋度与时间变化率共同激发涡旋场的空间演化：

\nabla_\lambda T^{\mu\nu} - \nabla^\nu T^{\mu\lambda} = \mu_0 \epsilon^{\mu\nu\lambda\rho} \partial_\rho G_\sigma + \gamma \left( G^\mu G^\nu G_\lambda - \frac{1}{4} g^\mu_\nu G_\lambda G^\sigma G_\sigma \right)

解释：

· 左侧：挠场的反对称协变导数（ \nabla_\lambda T^{\mu\nu} - \nabla^\nu T^{\mu\lambda} ），类比法拉第定律的  \nabla \times \mathbf{E} 。
· 右侧第一项：涡旋场的空间梯度激发的挠场源（ \mu_0  为类比磁导率），类比电荷激发电场。
· 右侧第二项：挠率的非线性自相互作用（ \gamma  为强度），类比磁单极子电流的自相互作用。

外微分形式： 令 T = \frac{1}{2} T_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu ，则反对称导数对应  \mathrm{d}T ：

\mathrm{d}T = \mu_0 \star \mathrm{d}G + \gamma G \wedge G

总结：通过上述构造，我们成功将涡旋场与挠场的动态对偶性以麦克斯韦方程组的形式嵌入爱因斯坦-嘉当理论的弯曲时空框架中。该理论保持了协变性、能量守恒与物理自洽性，并为研究自旋-时空相互作用提供了新的视角。