上一节：【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第二节 对坐标的曲线积分
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1. 格林公式

• 单连通与复连通区域
  设 $D$ 为平面区域，若 $D$ 内任一闭曲线所围的部分都属于 $D$，则称 $D$ 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。
  通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”（包括点“洞”）的区域，复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域。
• 边界曲线的正向
  规定边界曲线 $L$ 的正向如下：
  当观察者沿 $L$ 的这个方向行走时，$D$ 内在他近处的那一部分总在他的左边。
• 格林公式
  设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成，若函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，
  则有$$\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y,$$其中$L$是$D$的取正向的边界曲线。

  假设闭区域$D$既是$X$型又是$Y$型区域
  ∬D∂P∂xdxdy=∫ab{∫φ2(x)φ1(x)∂P∂ydy}dx=∫ab{P[x,φ1(x)]−P[x,φ2(x)]}dx=∫L1Pdx−∫L2Pdx=−∮LPdx\displaystyle\begin{aligned}\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{a}^{b} \left\{ \int_{\varphi_{2}(x)}^{\varphi_{1}(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{d}y \right\} \mathrm{d}x\\&= \int_{a}^{b} \left\{ P[x,\varphi_{1}(x)] - P[x,\varphi_{2}(x)] \right\} \mathrm{d}x\\&=\int_{L_1}P\mathrm{d}x-\int_{L_2}P\mathrm{d}x=-\oint_L P\mathrm{d}x\end{aligned}D∬​∂x∂P​dxdy​=∫ab​{∫φ2​(x)φ1​(x)​∂y∂P​dy}dx=∫ab​{P[x,φ1​(x)]−P[x,φ2​(x)]}dx=∫L1​​Pdx−∫L2​​Pdx=−∮L​Pdx​
  ∬D∂Q∂ydxdy=∫cd{∫ψ2(y)ψ1(y)∂Q∂xdx}dy=∫cd{Q[ψ1(y),y]−Q[ψ2(y),y]}dy=∫L1′Qdx+∫L2′Qdx=∮LQdy\displaystyle\begin{aligned}\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{c}^{d} \left\{ \int_{\psi_{2}(y)}^{\psi_{1}(y)} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{d}x \right\} \mathrm{d}y\\&= \int_{c}^{d} \left\{ Q[\psi_1(y),y] - Q[\psi_2(y),y]\right\} \mathrm{d}y\\&=\int_{L'_1}Q\mathrm{d}x+\int_{L'_2}Q\mathrm{d}x=\oint_L Q\mathrm{d}y\end{aligned}D∬​∂y∂Q​dxdy​=∫cd​{∫ψ2​(y)ψ1​(y)​∂x∂Q​dx}dy=∫cd​{Q[ψ1​(y),y]−Q[ψ2​(y),y]}dy=∫L1′​​Qdx+∫L2′​​Qdx=∮L​Qdy​
  一般的情形可以通过用辅助曲线切割的方式，满足格林公式的条件，曲线积分会相互抵消

• 特例
  $$\begin{array}{rl}2\underset{D}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\oint }_{L}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x\\ & ={\oint }_L\left|\begin{array}{cc}x& y\\ \mathrm{d}x& \mathrm{d}y\end{array}\right|\end{array}$$左端表达的是闭区域$D$面积的两倍，
  右端表达的是从原点到边界点的向量与边界曲线切向量叉积的积分（叉积能表达以向量为边的平行四边形的面积），它度量了边界曲线相对于原点的“旋转”或“扫过”的面积。
  椭圆的参数方程$$\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}$$椭圆的面积为$$A=\frac{1}{2}{\oint }_{L}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }ab\mathrm{d}\theta =\pi ab$$
• 无重（chong）点曲线
  对于连续曲线 $L:x=\phi (t),y=\psi (t),\alpha \le t\le \beta$，
  如果除了 $t=\alpha ,t=\beta$ 外，当 $t_1\ne t_2$ 时，$(\phi (t_1),\psi (t_1))$ 与 $(\phi (t_2),\psi (t_2))$ 总是相异的，那么称 $L$ 是无重点的曲线。
  边界曲线有重点会导致无法判定曲线的正向。
  对于有重点的曲线，处理办法应该是分解为多个简单闭曲线。

2. 平面上曲线积分与路径无关的条件

• 曲线积分与路径无关
  设 $G$ 是一个区域，$P(x,y)$ 以及 $Q(x,y)$ 在区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数。
  如果对于 $G$ 内任意指定的两个点 $A$、$B$ 以及 $G$ 内从点 $A$ 到点 $B$ 的任意两条曲线 $L_1$、$L_2$，等式$${\int }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_{L_2}\mathrm{d}yP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$恒成立，就说曲线积分${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$G$内与路径无关，否则便说与路径有关。
• 曲线积分与路径无关的充要条件
  设区域$G$是一个单连通域，函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数，则曲线积分${\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$G$内与路径无关（或沿$G$内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$在$G$内恒成立。

  $\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$

• 奇点
  破坏函数$P$及$Q$及$\frac{\partial Q}{\partial x}$，$\frac{\partial P}{\partial y}$连续性条件的点通常称为奇点。
  在有奇点的情况下，曲线积分与路径无关不能保证成立

3. 二元函数的全微分求积

• 二元函数的全微分求积问题
  • 函数 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 满足什么条件时，表达式 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 才是某个二元函数 $u(x,y)$ 的全微分
  • 当这样的二元函数存在时把它求出来。
• 全微分求积的充要条件
  设区域$G$是一个单连通域，若函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在$G$内具有有一阶连续偏导数，则$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$在$G$内为某一函数$u(x,y)$的全微分的充分必要条件是$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$在$G$内恒成立，从而曲线积分${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$G$内与路径无关。

  $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial P}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
  $u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(s,t)\mathrm{d}s+Q(s,t)\mathrm{d}t$，起点固定，曲线积分的值取决于终点的位置
  $\frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)$

• 二元函数的全微分求积
  为计算简便起见，可以选择平行于坐标轴的直线段连成的折线作为积分路线，当然要假定这些折线完全位于$G$内。$$\begin{array}{r}u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y\\ ={\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,y)\mathrm{d}y+{\int }_{x_0}^{x}P(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$
• 全微分方程
  一个微分方程写成$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$的形式后，如果它的左端恰好是某一个函数 $u(x,y)$ 的全微分：$$\mathrm{d}u(x,y)=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$那么该方程就叫做全微分方程。
  隐式通解为$u(x,y)=C$。
  当$P(x,y)$与$Q(x,y)$在连通域$G$内具有一阶连续偏导数时，一阶微分方程成为全微分方程的充分必要条件条件是$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$在区域$G$内恒成立，且全微分方程的通解为$$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=C,$$其中$x_0$与$y_0$是在区域$G$内适当选定的点$M_0$的坐标。
  此外还可以利用$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$条件和待定函数法求全微分方程的隐式通解。

4. 曲线积分的基本定理

• 保守场
  若曲线积分${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$在区域$G$内与积分路径无关，则称向量场$\mathbf{F}$为保守场。
• 曲线积分的基本定理
  设 $\mathbf{F}(x,y)=P(x)\mathbf{i}+Q(x)\mathbf{j}$ 是平面区域 $G$ 内的一个向量场，$P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 都在 $G$ 内连续，且存在一个数量函数 $f(x,y)$，使得 $\mathbf{F}=\nabla f$，
  则曲线积分 ${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 在 $G$ 内与路径无关，且$${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=f(B)-f(A),$$其中 $L$ 是位于 $G$ 内起点为 $A$、终点为 $B$ 的任一分段光滑曲线。

  $\mathrm{d}f=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y=\nabla f\cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$

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