1 简介

为了有效地利用雾状冰生长的物理现象，最近开发了一种优化算法——雾状优化算法（RIME）。它模拟硬雾状和软雾状过程，构建硬雾状穿刺和软雾状搜索机制。在本研究中，引入了一种增强版本，称为修改的RIME（MRIME），集成了多项式微分学习算子（PDLO）。与传统的RIME方法相比，PDLO的加入给RIME算法引入了非线性，提高了其适应性、收敛速度和全局搜索能力。

2. MRIME算法

RIME算法从自然过程，特别是软冰晶和硬冰晶的生长中汲取灵感，设计了其优化策略。冰晶粒子的位置代表搜索空间中的解向量。它通过两个阶段模拟相关的环境条件：软冰晶搜索（SRS）和硬冰晶穿刺（HRP）。它需要几个关键步骤来执行优化，如下所示。

2.1 冰晶初始化阶段

种群由$N_m$个冰晶代理初始化，每个代理表示为$D$维的冰晶粒子。在初始化过程中采用随机搜索来确定搜索空间中冰晶粒子的位置。因此，冰晶代理种群，表示为$R_{POP}$，由单个冰晶粒子的位置表示为$R_{Mij}$，如公式(10)所示。

$$R_{POP}=[R_{Mij}{]}_{N_m\times D}=\left[\begin{array}{cccc}{R}_{M1,1}& R_{M1,2}& \cdots & R_{M1,D}\\ R_{M2,1}& R_{M2,2}& \cdots & R_{M2,D}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ R_{M{N}_m,1}& R_{M{N}_m,2}& \cdots & R_{M{N}_m,D}\end{array}\right]$$

其中$R_{POP}$是种群矩阵，由冰晶代理的向量组成（$N_m\times 1$），每个冰晶代理向量由几个设计参数（$1\times D$）组成。

这些位置受到限制，具有上限（$U{p}_j$）和下限（$L{o}_j$）边界，定义了每个维度的允许范围。采用许多基于种群的算法中观察到的传统方法，冰晶种群在初始阶段通过随机搜索过程进行初始化。初始化期间位置$R_{Mij}$的结果表达式如下：

$$R_{Mij}=L{o}_j+r_{d_j}\cdot (U{p}_j-L{o}_j),i=1:N_m,j=1:D,$$

其中$r_{d_j}$是范围[0, 1]内随机选择的数字。

2.2 SRS阶段

算法模拟冰晶粒子在物体表面冻结的过程，模拟软冰晶的生长过程。冰晶代理在风和自身随机性的驱动下在搜索空间中移动，确保在早期迭代中广泛覆盖。冰晶代理的位置更新由以下公式确定，该公式包括最佳冰晶代理的位置、环境因素和随机性：

$$R_{mj}=R_{mbest,j}+r_{d_2}\cdot \beta \cdot \cos (\theta )\cdot (AD\cdot (U{p}_j-L{o}_j)+L{o}_j),\text{if }{r}_{d_2}<E,$$

其中粘附度（$AD$）表征最佳冰晶代理与随机选择的冰晶代理之间的接近程度，$AD$限制在范围[0, 1]内。修改后的第$i$个冰晶代理在SRS阶段后的维度$j$的位置，表示为$R_{mj}$，基于最佳冰晶代理的位置$R_{mbest,j}$确定。方向控制由$r_{d_2}$和$\cos (\theta )$的插值控制，其中$r_{d_2}$是范围[-1, 2]内的随机数。此外，$r_{d_2}$是范围[0, 1]内的随机数，$\theta$在公式(13)中定义。

$$\theta =\pi \left(\frac{t}{10\cdot T_{max}}\right),$$

在这种情况下，符号“$t$”表示迭代计数索引，而“$T_{max}$”表示总迭代次数。

环境因子，表示为“$\beta$”，模拟外部条件并确保冰晶种群的收敛，如公式(14)所示。

$$\beta =1-\frac{1}{\omega }\cdot \left(\frac{1}{\text{round}\left(\frac{\omega \cdot t}{T_{max}}\right)}\right),$$

函数“round”用于四舍五入数值，参数“$\omega$”用于调节步进函数的分割，默认值为5，如文献[29]所述。此外，变量“$r_{d_3}$”是范围[0, 1]内的随机数，“$E$”表示粘附系数，影响冰晶代理的凝聚概率。粘附系数随着整个搜索过程的迭代次数逐渐增加，如下所示：

$$E={\left(\frac{t}{T_{max}}\right)}^{1/2},$$$

在强风条件下，算法模拟硬冰晶粒子的更简单和更规则的生长。HRP机制促进了代理之间的信息交换，以提高收敛性和跳出局部最优的能力，如下所示：

$$R_{m\_new,ij}=\{\begin{array}{ll}{R}_{mbest,j}& r_{d_4}<Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})\\ R_{mj}& \text{Else}\end{array},i=1:N_m,j=1:D,$$

其中$R_{m\_new,ij}$表示第$i$个冰晶代理在维度$j$中的新创建位置，而“$r_{d_4}$”是范围[0, 1]内的随机数。如所示，冰晶代理的位置根据适应度值和归一化适应度值（$Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})$）进行更新，促进了代理之间的交叉。

$$Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})=\frac{Fit(R_{m_i})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^{N_m}(Fit(R_{m_i}){)}^2}},$$

其中$Fi{t}^{\mu }(R_{m_i})$是关于冰晶代理$i$的当前位置的适应度函数值。

2.4 提出的PLDO整合

在本文中，PLDO被整合以增强RIME算法的搜索能力和多样性。PLDO通常用于优化中的差分进化（DE）算法[44]。该算子通过合并两个随机选择的个体的信息来增强种群多样性，以更新当前冰晶代理的位置。PLDO是DE的扩展，通过适应突变策略来放大搜索空间内的探索和开发。PLDO中的突变公式结合了多项式函数，将非线性特性注入突变操作中。为了执行整合的PLDO，从种群中抽取两个随机整数（$index1$和$index2$）。随后，新派生的冰晶代理$i$的位置可以公式化为：

$$R_{m\_new}=R_{m_i}+\varphi \cdot (R_{m_{index1}}-R_{m_{index2}}),i=1:N_m,$$

其中$\varphi$是范围[0, 1]内生成的随机数。因此，更新涉及两个随机选择的元素（$R_{m_{index1}}$和$R_{m_{index2}}$）之间的加权差异，而权重$\varphi$控制这种差异对更新的贡献。

2.5 正向贪婪选择（PGS）阶段

在生成HRP-SRS阶段（公式(12)和(16)）或PLDO（公式(18)）中的冰晶粒子的新位置后，PGS机制用于比较更新前后的适应度值。如果更新后的适应度更好，则用次优解替换最优解，从而增强全局解的质量。该机制在更新过程中积极替换代理，以确保更优的种群进化。

2.6 迭代过程

图3a,b展示了标准RIME与所提出的MMIME优化器的主要步骤，其中整个过程在预定的迭代次数（$I_{max}$）内交替执行。在每次迭代中，所提出的MMIME利用SRS和HRP阶段或PLDO机制更新冰晶代理的位置，评估适应度值，并执行PGS。在所提出的MMIME中，引入PLDO，包含多项式函数，使每个突变向量组件的影响得到精细控制，为探索过程提供灵活性。通过排列引入的随机性增加了搜索空间探索的有效性。种群中的最佳冰晶代理由最佳适应度值确定，并作为优化问题的解决方案输出。

function [Best_rime_rate,Best_rime,Convergence_curve]=MRIME(N,Max_iter,lb,ub,dim)
% disp('RIME is now tackling your problem')
% initialize positionBest_rime=zeros(1,dim);
Best_rime_rate=inf;%change this to -inf for maximization problemsRimepop=initialization(N,dim,ub,lb);%Initialize the set of random solutions
Lb=lb.*ones(1,dim);% lower boundary
Ub=ub.*ones(1,dim);% upper boundary
it=1;%Number of iterations
Convergence_curve=zeros(1,Max_iter);
Rime_rates=zeros(1,N);%Initialize the fitness value
newRime_rates=zeros(1,N);
W = 5;%Soft-rime parameters, discussed in subsection 4.3.1 of the paper%Calculate the fitness value of the initial position
for i=1:N%     Rime_rates(1,i)=fobj(Rimepop(i,:));%Calculate the fitness value for each search agentx=Rimepop(i,:);[Im,Vm]=IVload;Iph=x(1);I0=x(2);Rs=x(3);Rsh=x(4);n=x(5);I02=x(6);n2=x(7);k = 1.380649e-23;T = 306.15;q = 1.602176634e-19;Vth= k*T/q;Ns=1;a=n*Vth*Ns;a2=n2*Vth*Ns;I = -Vm./(Rs + Rsh) - lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs...- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs + (Rsh.*(I0 + Iph + I02))./(Rs + Rsh);fit_I=sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));Rime_rates(1,i)=fit_I;%Make greedy selectionsif Rime_rates(1,i)<Best_rime_rateBest_rime_rate=Rime_rates(1,i);Best_rime=Rimepop(i,:);end
end
% Main loopwhile it <= Max_iter%     itRimeFactor = (rand-0.5)*2*cos((pi*it/(Max_iter*10)))*(1-round(it*W/Max_iter)/W);%Parameters of Eq.(3),(4),(5)E =sqrt(it/Max_iter);%Eq.(6)newRimepop = Rimepop;%Recording new populationsnormalized_rime_rates=normr(Rime_rates);%Parameters of Eq.(7)if rand>0.5for i=1:Nfor j=1:dim%Soft-rime search strategyr1=rand();if r1< EnewRimepop(i,j)=Best_rime(1,j)+RimeFactor*((Ub(j)-Lb(j))*rand+Lb(j));%Eq.(3)endendendelsefor i=1:NnewRimepop(i,:)=newRimepop(i,:)+rand*(newRimepop(randperm(N,1),:)-newRimepop(randperm(N,1),:));endendfor i=1:Nfor j=1:dim%Hard-rime puncture mechanismr2=rand();if r2<normalized_rime_rates(i)newRimepop(i,j)=Best_rime(1,j);%Eq.(7)endendendfor i=1:N%Boundary absorptionFlag4ub=newRimepop(i,:)>ub;Flag4lb=newRimepop(i,:)<lb;newRimepop(i,:)=(newRimepop(i,:).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;x=newRimepop(i,:);[Im,Vm]=IVload;Iph=x(1);I0=x(2);Rs=x(3);Rsh=x(4);n=x(5);I02=x(6);n2=x(7);k = 1.380649e-23;T = 306.15;q = 1.602176634e-19;Vth= k*T/q;Ns=1;a=n*Vth*Ns;a2=n2*Vth*Ns;I = -Vm./(Rs + Rsh) - lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs...- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs + (Rsh.*(I0 + Iph + I02))./(Rs + Rsh);fit_I=sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));newRime_rates(1,i)=fit_I;%Positive greedy selection mechanismif newRime_rates(1,i)<Rime_rates(1,i)Rime_rates(1,i) = newRime_rates(1,i);Rimepop(i,:) = newRimepop(i,:);if newRime_rates(1,i)< Best_rime_rateBest_rime_rate=Rime_rates(1,i);Best_rime=Rimepop(i,:);endendendConvergence_curve(it)=Best_rime_rate;it=it+1;
end

Hakmi S.H., Alnami H., Moustafa G., et al. Modified Rime-Ice Growth Optimizer with Polynomial Differential Learning Operator for Single-and Double-Diode PV Parameter Estimation Problem. Electronics. 2024, 13(9): 1611.