4.1 k-means算法简介

聚类分析，作为机器学习领域中的一种无监督学习方法，在数据探索与知识发现过程中扮演着举足轻重的角色。它能够在没有先验知识或标签信息的情况下，通过挖掘数据中的内在结构和规律，将数据对象自动划分为多个类别或簇。每个簇内的对象具有高度的相似性，而不同簇间的对象则表现出明显的差异性。

在众多聚类算法中，K-means算法因其简单高效而备受青睐。K-means算法的基本思想是：通过迭代的方式，将数据划分为K个不同的簇，并使得每个数据点与其所属簇的质心（或称为中心点、均值点）之间的距离之和最小。

K-means算法的优点在于其直观易懂、计算速度快且易于实现。然而，它也存在一些局限性，如对初始簇质心的选择敏感、可能陷入局部最优解以及需要预先设定聚类数K等。因此，在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的聚类算法，并可能需要对算法进行优化或改进以适应特定的需求。

4.2 算法的基本原理

（1）类和分类

类指的是具有相似性的集合。而分类是根据给定的已知类别的样本，训练出来一个模型，使该模型能够对未知类别的样本进行分类。故分类属于有监督学习。有监督学习是指提前由人工对训练数据做好了分类，训练样本同时包含有特征和类别信息。有监督学习类似于先学习带有标准答案的复习题，学习到知识规律以后，再去参加考试。

（2）聚类

对于一些给定的样本，不知道样本之间的关系，不知道他们是否属于同一类，也不知道到底可以分为多少类。此时，通过聚类把未知类别的数据，分为多个类别。聚类目的在于把相似的东西聚在一起，因此聚类属于无监督学习。

（3）K-均值聚类思想

K-均值（K-Means）是发现给定数据集的K个簇的算法。簇个数K是用户给定的，每一个簇通过其质心（即簇中所有点的中心）来描述。其核心思想是将数据集中的n个对象划分为K个聚类，使得每个对象到其所属聚类的中心（或称为均值点、质心）的距离之和最小。这里所说的距离通常指的是欧氏距离，但也可以是其他类型的距离度量。通过迭代的方式不断优化聚类结果，使得每个聚类内的对象尽可能紧密，而不同聚类间的对象则尽可能分开。

（4）算法步骤

K-means算法作为一种强大的无监督学习工具，具有简单易懂、计算效率高和易于实现等优点在多个领域有着广泛的应用，下面我们将详细探讨K-means算法的实现步骤。K-means算法的执行过程通常包括以下四个步骤。

a.初始化，选择K个初始聚类中心。在算法开始时，需要随机选择K个数据点作为初始的聚类中心。这些初始聚类中心的选择对最终的聚类结果有一定的影响，因此在实际应用中，通常会采用一些启发式的方法来选择较好的初始聚类中心，如K-means++算法。

b.分配，将每个数据点分配给最近的聚类中心。对于数据集中的每个数据点，计算其与每个聚类中心的距离，并将其分配给距离最近的聚类中心。这一步通常使用欧氏距离作为距离度量，计算公式如下（1）。其中，x是数据点，ci是第i个聚类中心，d是数据的维度，xj和cij分别是x和ci在第j维上的值。

c.更新，重新计算每个聚类的中心。对于每个聚类，重新计算其聚类中心，新的聚类中心是该聚类内所有数据点的均值，计算公式如下（2）。其中，Si是第i个聚类的数据点集合，|Si|是该集合中数据点的数量。

d.迭代，重复分配和更新步骤，直到满足终止条件。重复执行分配和更新步骤，直到满足某种终止条件。常见的终止条件包括，聚类中心不再发生显著变化：即新的聚类中心与旧的聚类中心之间的距离小于某个预设的阈值。达到最大迭代次数：为了避免算法陷入无限循环，通常会设置一个最大迭代次数作为终止条件。在迭代过程中，算法会不断优化聚类结果，使得每个聚类内的对象更加紧密，而不同聚类间的对象更加分散。最终，当满足终止条件时，算法停止迭代并输出最终的聚类结果。

4.3 算法实例

K-means算法作为一种强大的无监督学习工具，在多个领域有着广泛的应用。本实验以对俄勒冈州的波特兰地区地图上的点进行聚类为例，基于k-means算法实现，将这些地方进行聚类的最佳策略，这样就可以安排交通工具抵达这些簇的质心，然后步行到每个内地址。实例操作可分为以下五个过程。

1. 收集数据

通过调用geoGrab函数来实现收集数据，geoGrab函数的作用是收集数据，通过调用雅虎地理编码 API（Yahoo Geocoding API），将输入的街道地址和城市名称转换为对应的地理坐标（经纬度等位置信息），返回 API 响应的 JSON 格式数据，包含地址对应的地理编码信息（如坐标、地址匹配度等）。

相关代码如下：

def geoGrab(stAddress, city):

    apiStem = 'http://where.yahooapis.com/geocode?'  #create a dict and constants for the goecoder

    params = {}

    params['flags'] = 'J'#JSON return type

    params['appid'] = 'aaa0VN6k'

    params['location'] = '%s %s' % (stAddress, city)

    url_params = urllib.parse.urlencode(params)

    yahooApi = apiStem + url_params      #print url_params

    print (yahooApi)

    c=urllib.parse.urlopen(yahooApi)

    return json.loads(c.read())

1. 准备数据

准备数据中，只保留经纬度信息。我们可以通过调用massPlaceFind函数。该函数其作用是批量处理地址数据，通过调用geoGrab函数获取地理坐标（经纬度），并将结果写入文件。该函数适用于批量处理地址数据，生成带地理坐标的数据集，常用于地理信息系统（GIS）、数据分析或地图可视化等场景。

相关代码如下：

def massPlaceFind(fileName):

    fw = open('places.txt', 'w')

    for line in open(fileName).readlines():

        line = line.strip()

        lineArr = line.split('\t')

        retDict = geoGrab(lineArr[1], lineArr[2])

        if retDict['ResultSet']['Error'] == 0:

            lat = float(retDict['ResultSet']['Results'][0]['latitude'])

            lng = float(retDict['ResultSet']['Results'][0]['longitude'])

            print("%s\t%f\t%f" % (lineArr[0], lat, lng))

            fw.write('%s\t%f\t%f\n' % (line, lat, lng))

        else: print ("error fetching")

        sleep(1)

    fw.close()

1. 分析数据

使用Matplotlib来构建一个二维数据图，其中包含簇与地图。我们通过调用clusterClubs函数来实现。clusterClubs函数，其核心功能是对地点的经纬度数据进行聚类分析，并在地图背景上可视化聚类结果。该函数适用于地理数据的聚类分析与可视化，常用于城市规划、商业选址、轨迹分析等场景，帮助快速识别数据中的空间分布模式。

图1 调用函数

图2 二维数据图

相关代码如下：

def clusterClubs(numClust=5):

    datList = []

    for line in open('places.txt').readlines():

        lineArr = line.split('\t')

        datList.append([float(lineArr[4]), float(lineArr[3])])

    datMat = matrix(datList)

    myCentroids, clustAssing = biKmeans(datMat, numClust, distMeas=distSLC)

    fig = plt.figure()

    rect=[0.1,0.1,0.8,0.8]

    scatterMarkers=['s', 'o', '^', '8', 'p', \'d', 'v', 'h', '>', '<']

    axprops = dict(xticks=[], yticks=[])

    ax0=fig.add_axes(rect, label='ax0', **axprops)

    imgP = plt.imread('Portland.png')

    ax0.imshow(imgP)

    ax1=fig.add_axes(rect, label='ax1', frameon=False)

    for i in range(numClust):

        ptsInCurrCluster = datMat[nonzero(clustAssing[:,0].A==i)[0],:]

        markerStyle = scatterMarkers[i % len(scatterMarkers)]

        ax1.scatter(ptsInCurrCluster[:,0].flatten().A[0], ptsInCurrCluster[:,1].flatten().A[0], marker=markerStyle, s=90)

    ax1.scatter(myCentroids[:,0].flatten().A[0], myCentroids[:,1].flatten().A[0], marker='+', s=300)

    plt.show()

1. 测试算法

通过调用biKmeans()函数来测试算法。该函数实现了二分K均值算法（Bisecting K-Means），用于对数据集进行聚类分析。其核心作用是通过 “逐步分裂簇” 的策略，将数据集划分为指定数量的簇（k个）。

图3 测试算法

相关代码如下：

def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):

    m = shape(dataSet)[0]

    clusterAssment = matrix(zeros((m,2)))

    centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]

    centList =[centroid0] #create a list with one centroid

    for j in range(m):#calc initial Error

        clusterAssment[j,1] = distMeas(matrix(centroid0), dataSet[j,:])**2

    while (len(centList) < k):

        lowestSSE = inf

        for i in range(len(centList)):

            ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]#get the data points currently in cluster i

            centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)

            sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])#compare the SSE to the currrent minimum

            sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])

            print("sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit)

            if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:

                bestCentToSplit = i

                bestNewCents = centroidMat

                bestClustAss = splitClustAss.copy()

                lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit

        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever

        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit

        print ('the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit)

        print ('the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss))

        centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids

        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])

        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE

    return matrix(centList), clusterAssment

1. 使用算法

我们通过使用clusterClubs函数来输出包含簇及簇中心的地图。clusterClubs函数，其核心功能是对地点的经纬度数据进行聚类分析，并在地图背景上可视化聚类结果。操作过程与（3）分析数据相同。

图4 簇及簇中心图

相关代码如下：

def clusterClubs(numClust=5):

    datList = []

    for line in open('places.txt').readlines():

        lineArr = line.split('\t')

        datList.append([float(lineArr[4]), float(lineArr[3])])

    datMat = matrix(datList)

    myCentroids, clustAssing = biKmeans(datMat, numClust, distMeas=distSLC)

    fig = plt.figure()

    rect=[0.1,0.1,0.8,0.8]

    scatterMarkers=['s', 'o', '^', '8', 'p', \

                    'd', 'v', 'h', '>', '<']

    axprops = dict(xticks=[], yticks=[])

    ax0=fig.add_axes(rect, label='ax0', **axprops)

    imgP = plt.imread('Portland.png')

    ax0.imshow(imgP)

    ax1=fig.add_axes(rect, label='ax1', frameon=False)

    for i in range(numClust):

        ptsInCurrCluster = datMat[nonzero(clustAssing[:,0].A==i)[0],:]

        markerStyle = scatterMarkers[i % len(scatterMarkers)]

        ax1.scatter(ptsInCurrCluster[:,0].flatten().A[0], ptsInCurrCluster[:,1].flatten().A[0], marker=markerStyle, s=90)

    ax1.scatter(myCentroids[:,0].flatten().A[0], myCentroids[:,1].flatten().A[0], marker='+', s=300)

    plt.show()