【格与代数系统】示例

【格与代数系统】格与代数系统汇总

例1

设 $(L,\vee,\wedge)$ 是由 $(L,\leq )$ 诱导的代数系统，则其上的二元运算满足（ABCD）

A. $a\wedge b=b\wedge a.$

B. $a\vee a=a$

C. $a\wedge(a\vee b)=a$

D. $(a\vee b)\vee c=a\vee(b\vee c)$

代数系统满足交换律、幂等律、吸收律、结合律

例2

$([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是（ABCD）

A.有界格

有界格：有最大、最小元

B.分配格

分配格：满足分配律

C.对偶格

对偶格：复原律+对偶律

复原律： $(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a$

对偶律： $(a\bigvee b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigwedge b^\mathrm{c},\quad(a\bigwedge b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigvee b^\mathrm{c}$

D.完全格

完备格：非空子集都有上下确界

$([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 不是有补格（有补格：每个元素都有补元）

对任意 $a \in \left ( 0,1 \right )$ ，假设存在 $b \in \left [ 0,1 \right ]$ ，使得b是a的补元

即有 $a\vee b=1,a\wedge b=0$ ，故b=1，b=0，矛盾，故不存在b是a的补元，故 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 不是有补格

一般，若一个线性序集中的元素多于两个，那它一定不是有补格。

例3

代数系统 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是优软代数（对）

优软代数：对偶+稠密+完全+无限分配律

证：

已知 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是对偶格，由实数集的性质它是稠密的完全格，下正无限分配律：

一方面，对任意的 $i\in I,b_i\leqslant\vee_{j\in I}b_j$ ，故对任意的 $i\in I$ ， $a\wedge b_i\leqslant a\wedge(\vee_{j\in I}b_j)$ ，因此
$\vee_{i\in I}(a\wedge b_i)\leqslant a\wedge(\vee_{j\in I}b_j)$
另一方面：

(1) 若存在 $i_0\in I$ ,使得 $b_{i_0}>a$ , 则 $a\wedge b_{i_0}=a$ . 此时

$a\wedge(\vee_{i\in I}b_i)\leqslant a=a\wedge b_{i_0}\leqslant \vee_{i\in I}(a\wedge b_i)$

(2) 若对任意 $i\in I$ ， $b_i\leqslant a$ ，则 $a\wedge b_i= b_i$ ,且 $\vee_{i\in I}b_i\leqslant a$ . 此时

$a\wedge(\vee_{i\in I}b_i)=\vee_{i\in I}b_i=\vee_{i\in I}(a\wedge b_i)$

因此，无限分配律第一个表达式成立，同理可得无限分配律第二个表达式，故无限分配律成立，故代数系统 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是优软代数。

例4

代数系统 $(\left\{0,1\right\},V,\Lambda,\ ^{c})$ 是优软代数（错）

优软代数：对偶+稠密+完全+无限分配律

不满足稠密性

稠密性：任意两元间仍有一元

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