问题3

求系统 $$U_u+A{U}_x=0$$ 的特征并写出通解，其中矩阵 $$A$$ 如下：

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),$$

$$A_3=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),A_4=\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),$$

$$A_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right).$$

解答

系统为 $$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial u}+A\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x}=0$$，其中 $$\mathbf{U}=(u_1,u_2,u_3{)}^T$$ 是向量函数，$$u$$ 和 $$x$$ 是自变量。

• 特征：指矩阵 $$A$$ 的特征值 $$\lambda$$，它们决定了特征曲线的方向。特征曲线由方程 $$x-\lambda u=\text{常数}$$ 给出。
• 通解：通过求解特征值问题和对角化（或类似方法）得到。通解形式为 $$\mathbf{U}(u,x)=\sum _k{f}_k(x-{\lambda }_{k}u){\mathbf{v}}_k$$，其中 $${\lambda }_k$$ 是特征值，$${\mathbf{v}}_k$$ 是相应的特征向量，$$f_k$$ 是任意可微函数。

下面针对每个矩阵 $$A$$ 求解特征值并写出通解。

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1. 对于 $$A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=3$$, $${\lambda }_2=2$$, $${\lambda }_3=1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x-3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x-2u)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+f_3(x-u)\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x-3u)-2f_2(x-2u)+f_3(x-u)\\ u_2\end{array}$$