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🌟 一、Expected Sarsa 算法的数学原理

1. 什么是 Expected Sarsa？

Expected Sarsa 是一种基于 时序差分（Temporal Difference, TD）学习 的强化学习算法，用于估计 动作值函数 ( q_{\pi}(s, a) )。它是 Sarsa 算法的一种改进版本，通过计算期望值来减少方差，提高学习的稳定性。

2. Expected Sarsa 的目标方程

Expected Sarsa 的目标是求解以下方程：

$$[q_{\pi }(s,a)=\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma {\mathbb{E}}_{A_{t+1}\sim \pi (S_{t+1})}[q_{\pi }(S_{t+1},A_{t+1})]|S_t=s,A_t=a],\forall s,a.]$$

• ( q_{\pi}(s,a) )：在策略 ( \pi ) 下，状态-动作对 ( (s,a) ) 的动作值函数。
• ( R_{t+1} )：在状态 ( s ) 执行动作 ( a ) 后获得的即时奖励。
• ( \gamma )：折扣因子，平衡即时奖励和未来奖励。
• ( \mathbb{E}{A{t+1}\sim\pi(S_{t+1})}[\cdot] )：表示在下一状态 ( S_{t+1} ) 下，根据策略 ( \pi ) 选择动作 ( A_{t+1} ) 的期望。

3. 与贝尔曼方程的关系

上述方程是 贝尔曼期望方程（Bellman Expectation Equation） 的另一种表达形式：

$$[q_{\pi }(s,a)=\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a],]$$

• ( v_{\pi}(S_{t+1}) )：在策略 ( \pi ) 下，下一状态 ( S_{t+1} ) 的状态值函数。
• 这个方程表示动作值函数 ( q_{\pi}(s,a) ) 等于即时奖励加上下一状态的状态值函数的折扣期望。

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🌟 二、Expected Sarsa 与 Sarsa 的区别

特点	Sarsa	Expected Sarsa
更新目标	使用实际采样的下一动作 ( A_{t+1} )	使用下一状态所有动作的期望值
方差	较高（因为采样动作随机性大）	较低（因为对所有动作取期望）
稳定性	较低	较高
计算复杂度	较低	较高（需要计算期望）

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🌟 三、Expected Sarsa 的更新公式

Expected Sarsa 的动作值函数更新公式为：

$$[Q(S_t,A_t)\leftarrow Q(S_t,A_t)+\alpha [R_{t+1}+\gamma {\mathbb{E}}_{A^{\prime }\sim \pi (S_{t+1})}[Q(S_{t+1},A^{\prime })]-Q(S_t,A_t)]]$$

• ( \alpha )：学习率。
• ( \mathbb{E}{A’\sim\pi(S{t+1})}[Q(S_{t+1}, A’)] )：在下一状态 ( S_{t+1} ) 下，根据策略 ( \pi ) 对所有动作 ( A’ ) 的 ( Q ) 值取期望。

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🌟 四、总结

你提供的图片内容强调了以下几点：

• Expected Sarsa 是一种用于求解动作值函数的强化学习算法。
• 它通过计算期望值来减少方差，提高学习的稳定性。
• 该算法的数学基础是贝尔曼期望方程。

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🌟 五、进一步学习建议

如果你想更深入地理解 Expected Sarsa 算法，可以：

• 学习 Sarsa 和 Q-learning，比较它们与 Expected Sarsa 的异同。
• 了解 on-policy 和 off-policy 的区别（Expected Sarsa 是 on-policy）。
• 尝试用 Python 实现 Expected Sarsa 算法，解决简单的强化学习问题（如网格世界、悬崖行走等）。

希望这个解释能帮助你更好地理解 Expected Sarsa 算法！