离散傅里叶变换DFT推导及理解

DTFT到DFT的推导

关于DTFT的相关推导已经做过总结，详见《DTFT及其反变换的直观理解》，每一个离散的频率分量都是由时域中的复指数信号累加得到的，DTFT得到的频谱时频率的连续函数。

离散时间傅里叶变换公式，式1：

$X(e^{j{\widehat\omega}} )=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-j{\widehat\omega}n}$

将DTFT求和公式变为可计算的形式需要两步：采样连续频率变量，DTFT的求和次数有限。首先， $\widehat{\omega}$ 为连续变量， $-\pi \leq\widehat{\omega}\leq\pi$ ，故可以通过一组离散有限的频率 $\widehat{\omega}_{k}$ 计算上式；其次，当信号有限长时，DTFT求和有许多约束条件，无限长信号的傅里叶变换无法计算，通常将长序列分为段片段计算长序列的傅里叶变换。

对于有限长信号，其DTFT在 $\widehat{\omega}_{k}$ 采样值为式2：

$X(e^{j\widehat{\omega}_{k} } )=\sum\limits_{n=0}^{L-1} x[n]e^{-j\widehat{\omega}_{k}n}$ $k=0,1,...N-1$

L为序列x[n]的长度。频谱中的频率范围通常表示为 $-\pi \leq\widehat{\omega}\leq\pi$ ，其实任意 $2\pi$ 的频率间隔都是满足要求的，如果频率间隔选择为

$0\leq\widehat{\omega}\leq2\pi$

并且使用N个等间隔的频率计算公式，式3：

$\widehat{\omega}_{k}=\frac{2\pi k}{N}$ $k=0,1,...N-1$

将式3带入式2，可得到DTFT的N个频率样本，式4：

$X(e^{j\frac{2\pi k}{N}} )=\sum\limits_{n=0}^{L-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi k}{N}n}$ $k=0,1,...N-1$

式4中离散频率指数k的范围为：0到N-1，共N个采样值；信号序列长度为L，n为求和的计算指数。

式4左边可变参数为k，我们定义 $X[k]=X(e^{j\frac{2\pi k}{N}} )$ 来进行简化，当频率样本数N等于信号长度L时，式4的求和公式为式5：

$X[k]=\sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$ $k=0,1,...N-1$

式5成为离散傅里叶变换，即DFT，根据以上推导过程可知，DFT是时间和频率上都是离散的傅里叶变换。DFT将时域中的N个样本转换为频域中的N值X[k]。

离散傅里叶反变换

DFT是正变换，存在离散傅里叶反变换IDFT将X[k]（其中k=0,1,...,N-1）转换为序列x[n]（其中，n=0,1,...,N-1）。

IDFT为式6：

$x[n]=\frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$ $n=0,1,...N-1$

式6推导过程参考相关DTFT反变换的推导过程。

DTFT和DFT的区别

DFT（离散傅里叶变换）和DTFT（离散时间傅里叶变换）的区别主要体现在以下方面：

特征	DFT	DTFT
时域信号	有限长序列（需截断或加窗处理）	无限长序列（理论上允许无限长信号）
频域特性	离散且周期（频域采样）	连续且周期（频域无采样）
可计算性	可直接通过数值计算实现（如FFT）	需通过极限或符号运算（无法直接计算）
周期性	隐含时域/频域双重周期性	仅频域具有周期性（2π周期）
应用场景	实际数字信号处理（频谱分析/滤波等）	理论分析（系统频率响应等）