例

设$f(x)=\sqrt{1+x^2}$，求$[0,1]$上的一个一次最佳平方逼近多项式。

解 ：

$$d_0={\int }_0^1\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln (1+\sqrt{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1.147$$

$$d_1={\int }_0^{1}x\sqrt{1+x^2}dx={\frac{1}{3}(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}|}_0^1=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}\approx 0.609$$

由方程组
$$\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1.147\\ 0.609\end{array}\right),$$

解出 $$a_0=0.934,a_1=0.426,S_1^{\ast }(x)=0.934+0.426x$$

平方误差 $$\Vert \delta {\Vert }_2^2=(f,f)-(S_1^{\ast },f)={\int }_0^1(1+x^2)dx-0.426d_1-0.934d_0=0.0026$$

最大误差 $$\Vert \delta {\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|\sqrt{1+x^2}-S_1^{\ast }(x)|\approx 0.066$$