本文从频域分析和时域分析揭示系统的运动特性，并给出系统在一般形式激励下的响应。主要讨论如下问题：频域分析、频响函数矩阵、反共振、振型叠加法等。

根据文章1中的式(1.7)，可知无阻尼受迫振动的初值问题为：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{u}(t)=\mathbf{f}(t)\\ & \mathbf{u}(0)={\mathbf{u}}_0,\dot{\mathbf{u}}(0)={\dot{\mathbf{u}}}_0\end{array}(4.1)$$

式中，$\mathbf{M}$为质量矩阵，$\mathbf{K}$为刚度矩阵。$\mathbf{u}$为位移向量，$\mathbf{f}$为激振力向量。给定的初始条件为初始位移${\mathbf{u}}_0$和初始速度${\dot{\mathbf{u}}}_0$。矩阵和向量的阶数取决于系统自由度。

1. 频域分析：频响函数矩阵、反共振

频域分析是指在频域方程中自变量变为$\omega$而非$t$，这种表述不仅简化了计算，更深刻揭示了系统的频率响应特性，是振动分析的核心工具之一。

1.1 频域方程

首先讨论激励为简谐力的情况，即$\mathbf{f}(t)=\bar{\mathbf{f}}\sin \omega t$。由于线性常微分方程的解式一个特解$\mathbf{u}$和其对应齐次方程的通解$\bar{\mathbf{u}}$之和，而根据文章2的分析可知，在含阻尼的系统中其通解$\bar{\mathbf{u}}$描述的自由振动将随时间衰减；特解$\mathbf{u}$描述的是稳态响应，因此主要研究特解$\mathbf{u}$。

简谐力激励下的振动方程为：
$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{u}(t)=\bar{\mathbf{f}}\sin \omega t(4.2)$$

特解的形式取为：
$$\mathbf{u}(t)=\bar{\mathbf{u}}\sin \omega t$$

代入方程式(4.2)得到频域方程：
$$\left(\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M}\right)\bar{\mathbf{u}}=\bar{\mathbf{f}}\Rightarrow \mathbf{Z}\bar{\mathbf{u}}=\bar{\mathbf{f}}(4.4)$$

式中可定义动刚度矩阵为$\mathbf{Z}(\omega )=\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M}$。当频率为零，则$\mathbf{Z}=\mathbf{K}$。

振动力学的一个重要结论：动刚度矩阵（Dynamic Stiffness Matrix）可逆 ⇔ 系统无共振。如果$\det \mathbf{Z}\ne 0$则问题为特征值问题，所求的频率恰好为固有频率。

1.2 频响函数矩阵

当$\mathbf{Z}$是可逆矩阵（即$\det \mathbf{Z}\ne 0$），即式(4.4)存在唯一解，物理意义为不存在共振（$\omega \ne {\omega }_i,(i=1,2,...,N)$）。引入记号$\mathbf{H}(\omega )$，称为位移频响函数矩阵，也称为动柔度矩阵：
$$\mathbf{H}(\omega )={\mathbf{Z}}^{-1}(\omega ),(\omega \ne {\omega }_i)$$

于是：
$$\bar{\mathbf{u}}=\mathbf{H}\bar{\mathbf{f}}$$

动刚度矩阵$\mathbf{Z}$或动柔度矩阵$\mathbf{H}(\omega )$（位移频响函数矩阵）反映了系统在频率域的全部动力学特征。且在实际应用中，$\mathbf{H}(\omega )$更容易测量。

1.3 频响函数矩阵的振型展开式

在文章1中给出了固有振型的正交性，有如下结论（文章1的式(3.40)），因此如果对$\mathbf{Z}(\omega )=\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M}$左右分别乘${\mathbf{\Phi }}^T$和$\mathbf{\Phi }$：
$${\mathbf{\Phi }}^T\mathbf{Z}(\omega )\mathbf{\Phi }={\mathbf{\Phi }}^T(\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M})\mathbf{\Phi }={\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}(K_i-{\omega }^2{M}_i)$$

于是对左右再次分别乘${\mathbf{\Phi }}^{-T}$和${\mathbf{\Phi }}^{-1}$：
$$\mathbf{Z}={\mathbf{\Phi }}^{-T}{\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}(K_i-{\omega }^2{M}_i){\mathbf{\Phi }}^{-1}$$

由于$\mathbf{H}(\omega )={\mathbf{Z}}^{-1}(\omega )$，所以可得到用固有振型表示的$\mathbf{H}(\omega )$：
$$\mathbf{H}(\omega )=\mathbf{\Phi }{\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}\frac{1}{K_i-{\omega }^2{M}_i}{\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}=\sum _{i=1}^N\frac{{\mathbf{\phi }}_i{\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}}{K_i-{\omega }^2{M}_i},(\omega \ne {\omega }_i)(4.10)$$

式(4.10)揭示了离散系统的频率特性和模态参数（主要指振型$\mathbf{\phi }$、固有频率）之间的关系，见胡海岩（2005，P72）。

1.4 反共振频率

共振：当外部激励的频率接近系统的固有频率时，系统的振幅会增大，产生共振现象。这是因为系统的自然振动频率与外部激励频率一致，导致能量传递效率极高。固有频率是系统自身的频率，通常由系统的质量、刚度以及阻尼等特性决定。

反共振的概念：在某些特定频率下，某些自由度的响应幅值为 0，即 “力有但不动”。反共振是与共振现象相对的现象。当系统的外部激励频率接近某些特定频率时，系统的响应可能出现极小的现象，即振幅最小，这种频率称为反共振频率。反共振是一种由于系统结构的耦合与干涉引起的现象，本质上来源于系统中多个自由度之间的动力学相消。

研究反共振的工程意义：了解反共振频率有助于在设计和控制结构时避免激励系统在这些频率下运行，以减少可能的动力响应。

根据线性代数知识，由关系式$\mathbf{H}(\omega )={\mathbf{Z}}^{-1}(\omega )$，可知：
$$H_{ij}(\omega )=\frac{{\bar{Z}}_{ji}(\omega )}{\det \mathbf{Z}(\omega )},(当\omega \ne {\omega }_i)$$

式中，${\bar{Z}}_{ij}$是动刚度矩阵$\mathbf{Z}$中的元素$Z_{ij}(\omega )$的代数余子式；$H_{ij}(\omega )$表示第$i$和第$j$自由度之间的频响函数。因此$H_{ij}(\omega )$的反共振频率就是${\bar{Z}}_{ji}$的零点（注意${\bar{Z}}_{ji}$是是行列式），第$i$和第$j$自由度之间的反共振频率方程记为：
$${\bar{Z}}_{ji}(\omega )=0$$

上式是关于频率$\omega$的方程，可解出反共振频率。胡海岩（2005，p73）指出：系统的反共振频率实际上就是施加局部约束后系统的固有频率。

2. 时域分析与振型叠加法

时域分析的目标是求解该系统的动态响应$\mathbf{u}(t)$。

线性系统的响应可以分为零初始状态下激励引起的响应（零状态响应），以及零初始激励下初始条件引起的响应（零激励响应）。自由振动（无外部激励）其实是一种零激励响应。本节分析在零初始状态下的振动：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{u}(t)=\mathbf{f}(t)\\ & \mathbf{u}(0)=0,\dot{\mathbf{u}}(0)=0\end{array}(4.19)$$

2.1 单位脉冲响应矩阵

根据文章1中的主坐标变换：
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{\Phi }\mathbf{q}(t)=\sum _{i=1}^N{\mathbf{\phi }}_i{q}_i(t)$$

可将式(4.19)转换为$N$个单自由系统的零状态响应问题：
$$\begin{array}{rl}& M_i{\ddot{q}}_i(t)+K_i{q}_i(t)={\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{f}(t)\\ & q_i(0)=0,{\dot{q}}_i(0)=0\end{array}(4.21)$$

解出：
$$q_i(t)=\frac{{\phi }_{ji}}{M_i{\omega }_i}\sin {\omega }_{i}t$$

代入主坐标变换得到系统响应：
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{\Phi }\mathbf{q}(t)=\sum _{i=1}^N{\mathbf{\phi }}_i\frac{{\phi }_{ji}}{M_i{\omega }_i}\sin {\omega }_{i}t$$

据此定义单位脉冲响应矩阵：
$$\mathbf{h}(t)=\mathbf{\Phi }\mathbf{q}(t)=\sum _{i=1}^N\frac{{\mathbf{\phi }}_i{\mathbf{\phi }}_i^T}{M_i{\omega }_i}\sin {\omega }_{i}t$$

还可得出：
$$\mathbf{h}(t)=\mathbf{\Phi }{\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}\frac{\sin {\omega }_{i}t}{{\omega }_i}{\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{V}(t){\mathbf{M}}^{-1}$$

其中$\mathbf{V}(t)$和$\mathbf{M}$分别在文章1的式(3.50)和(3.40)给出。这说明在各自由度上依次作用的单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵恰好为${\mathbf{M}}^{-1}$。

2.2 任意激励下的响应

系统受任意激励后的零状态响应为：
$$\mathbf{u}(t)={\int }_0^t\mathbf{h}(t-\tau )\mathbf{f}(\tau )\mathrm{d}\tau ={\int }_0^t\mathbf{h}(\tau )\mathbf{f}(t-\tau )\mathrm{d}\tau (4.27)$$

将零激励响应叠加，可得同时考虑初始状态（文章1中的式(3.50)）和外激励（式(4.27)）的响应：
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{U}(t){\mathbf{u}}_0+\mathbf{V}(t){\dot{\mathbf{u}}}_0+{\int }_0^t\mathbf{h}(t-\tau )\mathbf{f}(\tau )\mathrm{d}\tau (4.28)$$

这也称为振型叠加法，即将零初始响应（取初始条件为零）和零激励响应（取外激励为零）的解叠加。

参考资料

文章1：振动力学：多自由度系统
文章2：振动力学：有阻尼单自由度系统（简谐力激励的受迫振动）
胡海岩. 机械振动基础. 北京航空航天大学出版社. 2005