已知公式：
$$u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy.$$ （1）
其中
$$G(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}$$ （2）
这个公式解决了热方程的初值问题
$$u_t=k{u}_{xx}$$ （3）
初始函数为$$g(x)$$。
在下面的许多问题中，对于一个修改后的标准问题，你需要推导出一个类似的公式，尽管$$G(x,y,t)$$有所修改。考虑
$$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^z{e}^{-z^2}dz$$ （Erf）
作为一个标准函数。

题目

问题 2：使用延拓方法（method of continuation）求解热方程在区域 $$x>0,t>0$$ 上的初边值问题（IBVP），初始函数为 $$g(x)$$，并针对以下边界条件推导类似于公式 (1)-(2) 的解表达式：

(a) Dirichlet 边界条件 $$u{|}_{x=0}=0$$；
(b) Neumann 边界条件 $$u_x{|}_{x=0}=0$$.

背景信息：公式 (1)-(2) 给出了热方程 $$u_t=k{u}_{xx}$$ 在整个实数轴上的初值问题的解：
$$u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy,\text{(1)}$$
其中
$$G(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}.\text{(2)}$$
该解满足初始条件 $$u(x,0)=g(x)$$。问题要求在半无限区域 $$x>0$$ 上，通过延拓方法推导类似公式，其中 Green 函数 $$G(x,y,t)$$ 会相应修改。

解决方法

延拓方法的核心思想是将半无限区域问题扩展到整个实数轴，通过适当延拓初始函数 $$g(x)$$ 使得边界条件自动满足。然后，利用整个实数轴上的解公式（1），并限制回半无限区域 $$x>0$$。

(a) Dirichlet 边界条件 $$u{|}_{x=0}=0$$

对于 Dirichlet 边界条件，采用奇延拓（odd extension）定义初始函数：
$$g_{\text{odd}}(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)& \text{for }x>0,\\ -g(-x)& \text{for }x<0.\end{array}$$
此延拓确保 $$g_{\text{odd}}(x)$$ 是奇函数，即 $$g_{\text{odd}}(-x)=-g_{\text{odd}}(x)$$。考虑整个实数轴上的热方程初值问题，初始条件为 $$u(x,0)=g_{\text{odd}}(x)$$，其解由公式 (1) 给出：
$$u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x,y,t)g_{\text{odd}}(y)dy.$$
由于 $$g_{\text{odd}}(y)$$ 是奇函数，且 $$G(x,y,t)$$ 关于 $$y$$ 是偶函数（因依赖于 $$y^2$$），被积函数 $$G(x,y,t)g_{\text{odd}}(y)$$ 是奇函数。在 $$x=0$$ 处，积分值为零，满足 $$u(0,t)=0$$。将积分拆分为 $$y>0$$ 和 $$y<0$$ 部分：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy+{\int }_{-\infty }^{0}G(x,y,t)[-g(-y)]dy.$$
在第二积分中，令 $$z=-y$$（则 $$dy=-dz$$，当 $$y\to -\infty$$ 时 $$z\to \infty$$，当 $$y\to 0^{-}$$ 时 $$z\to 0^{+}$$)：
$${\int }_{-\infty }^{0}G(x,y,t)[-g(-y)]dy={\int }_{\infty }^{0}G(x,-z,t)[-g(z)](-dz)=-{\int }_0^{\infty }G(x,-z,t)g(z)dz.$$
因此，
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy-{\int }_0^{\infty }G(x,-y,t)g(y)dy={\int }_0^{\infty }\left[G(x,y,t)-G(x,-y,t)\right]g(y)dy.$$
代入 $$G(x,y,t)$$ 的表达式 (2)：
$$G(x,-y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}},$$
所以解为：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}-e^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right)g(y)dy.$$
对应的 Green 函数为：
$$G_D(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}-e^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right).$$

(b) Neumann 边界条件 $$u_x{|}_{x=0}=0$$

对于 Neumann 边界条件，采用偶延拓（even extension）定义初始函数：
$$g_{\text{even}}(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)& \text{for }x>0,\\ g(-x)& \text{for }x<0.\end{array}$$
此延拓确保 $$g_{\text{even}}(x)$$ 是偶函数，即 $$g_{\text{even}}(-x)=g_{\text{even}}(x)$$。考虑整个实数轴上的热方程初值问题，初始条件为 $$u(x,0)=g_{\text{even}}(x)$$，其解由公式 (1) 给出：
$$u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x,y,t)g_{\text{even}}(y)dy.$$
由于 $$g_{\text{even}}(y)$$ 是偶函数，解 $$u(x,t)$$ 也是偶函数，故在 $$x=0$$ 处满足 $$u_x(0,t)=0$$。将积分拆分为 $$y>0$$ 和 $$y<0$$ 部分：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy+{\int }_{-\infty }^{0}G(x,y,t)g(-y)dy.$$
在第二积分中，令 $$z=-y$$（则 $$dy=-dz$$，当 $$y\to -\infty$$ 时 $$z\to \infty$$，当 $$y\to 0^{-}$$ 时 $$z\to 0^{+}$$)：
$${\int }_{-\infty }^{0}G(x,y,t)g(-y)dy={\int }_{\infty }^{0}G(x,-z,t)g(z)(-dz)={\int }_0^{\infty }G(x,-z,t)g(z)dz.$$
因此，
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }G(x,y,t)g(y)dy+{\int }_0^{\infty }G(x,-y,t)g(y)dy={\int }_0^{\infty }\left[G(x,y,t)+G(x,-y,t)\right]g(y)dy.$$
代入 $$G(x,y,t)$$ 的表达式 (2)：
$$G(x,-y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}{e}^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}},$$
所以解为：
$$u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}+e^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right)g(y)dy.$$
对应的 Green 函数为：
$$G_N(x,y,t)=\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}+e^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right).$$

答案

(a) Dirichlet 边界条件 $$u{|}_{x=0}=0$$

解为：
$$\boxed{u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}-e^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right)g(y)dy}$$

(b) Neumann 边界条件 $$u_x{|}_{x=0}=0$$

解为：
$$\boxed{u(x,t)={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2\sqrt{k\pi t}}\left(e^{-\frac{(x-y{)}^2}{4kt}}+e^{-\frac{(x+y{)}^2}{4kt}}\right)g(y)dy}$$