一、线性回归简介核心思想：线性回归是一种通过属性的线性组合来做预测的模型。它的目标很明确，就是找到一条合适的直线、平面或者更高维度的超平面，让预测出来的值和实际真实值之间的差距尽可能小。比如在预测房屋价格时，就可以根据房屋大小这个属性，拟合出一条能预测价格的直线。一般形式：对于一个有多个属性描述的样本，线性回归会把这些属性分别乘以对应的权重，再加上一个偏置项，得到预测结果。用向量的形式可以更简洁地表示这种组合关系。二、模型求解：最小二乘法基本原理：最小二乘法是基于 “欧氏距离” 来寻找最优模型的方法。它的核心是找到一条线，让所有样本点到这条线的欧氏距离加起来最小，也就是让预测值和真实值之间的误差总和最小。参数估计：这个过程就是找到最合适的权重和偏置项，使得误差函数的值最小。这里的误差函数反映的是所有样本预测误差的平方和。求解过程：通过对误差函数分别关于权重和偏置项求导，然后让导数等于 0，就能计算出权重和偏置项的最优值。三、线性回归的评估指标误差平方和 / 残差平方和（SSE/RSS）：它是把每个样本的预测值和真实值之间的差值平方后加起来的结果，能反映出预测值和真实值之间的总误差大小。平方损失 / 均方误差（MSE）：是误差平方和的平均值，它消除了样本数量对误差结果的影响，方便不同数据集之间进行误差比较。R 方（\(R^2\)）：这个指标用来衡量模型对数据的拟合效果。它的值越接近 1，说明模型对真实数据的解释能力越强，拟合效果也就越好。简单来说，就是看预测值能解释真实值变化的程度。四、多元线性回归模型形式：当样本有多个属性时，多元线性回归会把每个属性都考虑进来，每个属性都有对应的权重，再加上一个偏置项，共同组成预测公式。矩阵表示：对于多元线性回归，可以用矩阵的形式来表示模型和相关计算，这样在处理大规模数据时会更方便高效。五、实践应用：sklearn 中的线性回归相关函数：在 Python 的 sklearn 库中，linear_model.LinearRegression()函数可以直接实现线性回归算法。主要参数：fit_intercept：用于设置模型是否包含偏置项，如果设置为 False，那么拟合的直线会经过原点，默认是包含偏置项的。normalize：设置是否对数据进行归一化处理，默认是不进行归一化。应用示例：比如用这个函数可以实现对波士顿房价的预测，通过输入房屋的各种属性，得到预测的房价。通过本次学习，我对线性回归的基本概念、求解方法、评估方式和实际应用有了全面的了解。线性回归作为一种简单实用的模型，在很多预测场景中都发挥着重要作用。

代码参考

# 导入必要的库
import pandas as pd          # 用于数据处理和分析的工具库
import numpy as np           # 用于数值计算的基础库
import matplotlib.pyplot as plt  # 用于数据可视化的库
from sklearn.datasets import load_diabetes  # 从sklearn加载糖尿病数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split  # 用于划分训练集和测试集
from sklearn.linear_model import LinearRegression  # 线性回归模型
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score  # 模型评估指标

# 1. 加载糖尿病数据集
# 该数据集包含442名糖尿病患者的10项生理特征和1年后的病情发展指标
diabetes = load_diabetes()

# 2. 数据处理与格式化
# 将特征数据转换为DataFrame格式，便于查看和处理
# diabetes.data包含特征数据，diabetes.feature_names是特征名称列表
X = pd.DataFrame(diabetes.data, columns=diabetes.feature_names)

# 将目标值（标签）转换为Series格式，目标值表示患者1年后的病情发展情况
y = pd.Series(diabetes.target, name='DiseaseProgression')

# 3. 数据探索：查看数据集基本信息
print("数据集基本信息：")
print(f"特征数量：{X.shape[1]}")  # X.shape[1]表示列数，即特征数量
print(f"样本数量：{X.shape[0]}")  # X.shape[0]表示行数，即样本数量
print("\n特征名称：", diabetes.feature_names)  # 打印所有特征的名称
print("\n数据统计描述：")
# 打印数据的统计信息（均值、标准差、最小值、最大值等）
print(X.describe())

# 4. 划分训练集和测试集
# train_test_split函数用于将数据集随机划分为训练集和测试集
# test_size=0.3表示测试集占总数据的30%，训练集占70%
# random_state=42设置随机种子，确保每次运行划分结果一致，保证实验可复现
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
X, y, test_size=0.3, random_state=42
)

# 5. 构建线性回归模型并训练
# 创建线性回归模型实例，fit_intercept=True表示模型会计算偏置项（截距）
model = LinearRegression(fit_intercept=True)

# 使用训练集数据训练模型，即通过最小二乘法找到最优的权重和偏置
# 模型会学习特征(X_train)与目标值(y_train)之间的线性关系
model.fit(X_train, y_train)

# 6. 输出模型参数（权重和偏置）
print("\n模型参数：")
# 遍历每个特征及其对应的系数（权重）
# 系数的大小和符号表示该特征对预测结果的影响程度和方向
for feature, coef in zip(diabetes.feature_names, model.coef_):
print(f"{feature}: {coef:.4f}")  # 保留4位小数输出

# 输出偏置项（intercept），即线性方程中的常数项
print(f"偏置(intercept): {model.intercept_:.4f}")

# 7. 使用训练好的模型进行预测
# 用测试集的特征数据进行预测，得到模型的预测结果y_pred
y_pred = model.predict(X_test)

# 8. 模型评估：计算评估指标
# 计算均方误差（MSE）：预测值与真实值差值的平方的平均值
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)

# 计算均方根误差（RMSE）：MSE的平方根，与目标值单位一致，更易解释
rmse = np.sqrt(mse)

# 计算R方（R²）：表示模型解释的方差比例，范围0-1，越接近1说明拟合效果越好
r2 = r2_score(y_test, y_pred)

# 打印评估指标结果
print("\n模型评估指标：")
print(f"均方误差（MSE）：{mse:.4f}")
print(f"均方根误差（RMSE）：{rmse:.4f}")
print(f"R方（R^2）：{r2:.4f}")

# 9. 结果可视化：真实值与预测值对比
# 创建画布，设置大小为10x6英寸
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 绘制散点图：x轴为真实值，y轴为预测值，alpha设置点的透明度
plt.scatter(y_test, y_pred, alpha=0.5, label='预测值 vs 真实值')

# 绘制参考线：y=x的虚线，表示理想情况下预测值等于真实值
plt.plot([y.min(), y.max()], [y.min(), y.max()], 'r--', label='理想预测线')

# 设置坐标轴标签和图表标题
plt.xlabel('真实病情发展指标')
plt.ylabel('预测病情发展指标')
plt.title('糖尿病病情预测：真实值 vs 预测值')

# 添加图例和网格线
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)  # alpha设置网格线透明度

# 显示图表
plt.show()

# 10. 特征重要性可视化
# 计算各特征系数的绝对值，用于表示特征重要性（绝对值越大影响越大）
coef_abs = np.abs(model.coef_)

# 创建画布，设置大小为10x6英寸
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 绘制柱状图展示各特征的重要性
plt.bar(diabetes.feature_names, coef_abs)

# 设置图表标题和坐标轴标签
plt.title('特征重要性（基于系数绝对值）')
plt.xlabel('特征名称')
plt.ylabel('系数绝对值')

# 添加y轴网格线，便于查看数值
plt.grid(axis='y', alpha=0.3)

# 显示图表
plt.show()