图论与最短路在数学建模中的应用

一、图论模型

• 图 $G=(V,E)$

  • $V$：顶点集合
  • $E$：边集合

• 每条边 $(u,v)$ 赋予权值 $w(u,v)$，可用 邻接矩阵 或 邻接表 表示。

二、最短路问题的数学形式

目标：寻找从源点 $s$ 到目标点 $t$ 的路径 $P$，使得路径权值和最小。

$$d(s,t)=\underset{P\in \mathcal{P}(s,t)}{\min }\sum _{(u,v)\in P}w(u,v)$$

其中：

• $\mathcal{P}(s,t)$：所有从 $s$ 到 $t$ 的可行路径集合
• $w(u,v)$：边的权值

三、最短路算法

1. Dijkstra 算法

   • 适用于 非负权图
   • 贪心策略：逐步扩展源点集合，选取最近节点

2. Bellman-Ford 算法

   • 允许 负权边

   • 动态规划思想：

     dk(v)=min⁡{dk−1(v),min⁡(u,v)∈E(dk−1(u)+w(u,v))} d_k(v) = \min\{ d_{k-1}(v), \min_{(u,v)\in E} (d_{k-1}(u)+w(u,v)) \} dk​(v)=min{dk−1​(v),(u,v)∈Emin​(dk−1​(u)+w(u,v))}

   • 可检测负环

3. Floyd-Warshall 算法

   • 适合 全源最短路

   • 递推公式：

     $$d^{(k)}(i,j)=\min (d^{(k-1)}(i,j),d^{(k-1)}(i,k)+d^{(k-1)}(k,j))$$

四、MATLAB 实现

1. Dijkstra 算法

INF = 1e9;
G = [0 4 2 INF INF;4 0 1 5 INF;2 1 0 8 10;INF 5 8 0 2;INF INF 10 2 0];n = size(G,1);
start = 1;
dist = ones(1,n)*INF;
visited = zeros(1,n);
dist(start) = 0;for i = 1:n[~, u] = min(dist + visited*INF);visited(u) = 1;for v = 1:nif ~visited(v) && dist(u)+G(u,v) < dist(v)dist(v) = dist(u)+G(u,v);endend
enddisp('Dijkstra: 起点到各点的最短距离：');
disp(dist);

2. Bellman-Ford 算法

INF = 1e9;
edges = [1 2 4;1 3 2;2 3 1;2 4 5;3 2 1;3 4 8;3 5 10;4 5 2];n = 5;   % 节点数
m = size(edges,1);
start = 1;
dist = ones(1,n)*INF;
dist(start) = 0;% 松弛操作 n-1 次
for k = 1:n-1for i = 1:mu = edges(i,1);v = edges(i,2);w = edges(i,3);if dist(u) + w < dist(v)dist(v) = dist(u) + w;endend
end% 检测负环
hasNegativeCycle = false;
for i = 1:mu = edges(i,1);v = edges(i,2);w = edges(i,3);if dist(u) + w < dist(v)hasNegativeCycle = true;end
enddisp('Bellman-Ford: 起点到各点的最短距离：');
disp(dist);
if hasNegativeCycledisp('图中存在负权回路！');
end

3. Floyd-Warshall 算法

INF = 1e9;
G = [0 4 2 INF INF;4 0 1 5 INF;2 1 0 8 10;INF 5 8 0 2;INF INF 10 2 0];n = size(G,1);for k = 1:nfor i = 1:nfor j = 1:nif G(i,k)+G(k,j) < G(i,j)G(i,j) = G(i,k)+G(k,j);endendend
enddisp('Floyd-Warshall: 所有点对最短路径矩阵：');
disp(G);

五、总结

• 建模方法：用图表示系统，用边权表示代价

• 最短路问题目标：找到权和最小路径

• 算法选择：

  • 单源非负权：Dijkstra
  • 单源含负权：Bellman-Ford
  • 全源最短路：Floyd-Warshall