本文涉及知识点
C++动态规划
【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例
P10528 [XJTUPC 2024] 崩坏：星穹铁道
题目背景
Corycle 喜欢玩一个由米哈游自主研发的一款回合制战斗游戏------《崩坏：星穹铁道》。这片银河中有名为「星神」的存在，他们造就现实，抹消星辰，在无数「世界」中留下他们的痕迹。你将由此探索新的文明，结识新的伙伴，在无数光怪陆离的「世界」与「世界」之间展开新的冒险。所有你想知道的，都将在群星中找到答案。
题目描述
在游戏《崩坏：星穹铁道》中，你的队伍里会有四名角色轮流行动，所有角色共享用于施放战技的战技点。当战斗开始时，你会获得 kkk 个战技点，且战技点的上限为 555 个。每个角色行动时可选择进行普通攻击或者施放战技，进行普通攻击时会为全队增加一个战技点，当战技点达到上限时也可以进行普通攻击，但是此时不回复战技点。角色施放战技需要消耗一个战技点，当没有战技点时只能进行普通攻击而不可释放技能。
Corycle 想成为星穹铁道高手，为此他需要对自己的配队了如指掌。由于角色有多种职业，同时为了方便对角色类型进行定位，他把角色的行动模式分为了三种类型：
-
当角色行动时，只会进行普通攻击。
-
当角色行动时，若有战技点不少于 111 则必定释放技能，否则进行普通攻击。
-
不对角色的行动进行限制。
现在 Corycle 开始了一场战斗，他想知道当队伍中的四名角色一共行动 nnn 次时，可能会有多少种不同的行动方案。我们称两个行动方案不同，当且仅当存在至少一个回合中，两个方案里角色行为不同。这个答案可能是一个很大的数，所以请将答案对 998244353998244353998244353 取模。
输入格式
输入第一行有两个正整数 nnn 和 kkk (1≤n≤1×1018,0≤k≤51\le n\le 1\times 10^{18},0\le k\le 51≤n≤1×1018,0≤k≤5)，表示总行动次数与初始战技点数，用空格隔开。
第二行有四个用空格隔开的正整数 a1,a2,a3,a4a_1,a_2,a_3,a_4a1,a2,a3,a4 (1≤a1,a2,a3,a4≤31 \le a_1,a_2,a_3,a_4 \le 31≤a1,a2,a3,a4≤3)，表示四名角色的行动模式类型。
输出格式
输出仅一个整数，表示不同的行动方案数。
输入输出样例 #1
输入 #1
12 1
2 3 2 1
输出 #1
1
输入输出样例 #2
输入 #2
8 5
2 1 1 3
输出 #2
4
动态规划
动态规划的状态表示
dp[n][m] 表示进行了n回合，剩余战技点数为m的方案数。
pre=dp[n] cur=dp[n+1]。
动态规划的填表顺序
枚举前驱状态，n从小到大，m任意。
动态规划的转移方程
普通攻击：cur[min(5,m+1)] += pre[m]
技能攻击：cur[m-1] += pre[m]
时间复杂度：O(n) 超时
动态规划的初始值
pre[k]=1，其他为0。
动态规划的返回值
∑dp.back()\sum dp.back()∑dp.back()
矩阵快速幂
三类角色的矩阵分别为：mat0,mat1,mat2。
4个角色的矩阵分别为m0,m1,m2,m3m_0,m_1,m_2,m_3m0,m1,m2,m3
则结果为： pre×(m0×m1×m2×m3)n/4pre \times (m_0\ \times m_1 \times m_2 \times m_3)^{n/4}pre×(m0 ×m1×m2×m3)n/4
n1 = n%4，如果i < n1,再乘以mim_imi
代码
核心代码
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行 return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错 }m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD){}C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {}C1097Int operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator-(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);}C1097Int operator*(const C1097Int& o)const{return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this *= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(T2 n)const{C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}T1 ToInt()const{return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;}
private:T1 m_iData = 0;;
};template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}// 矩阵乘法vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();assert(iK == b.size());vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));for (int i = 0; i < r; i++){for (int j = 0; j < c; j++){for (int k = 0; k < iK; k++){ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;}}}return ret;}// 矩阵快速幂vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {vector<vector<T>> res = a;for (; n; n /= 2) {if (n % 2) {res = multiply(res, b);}b = multiply(b, b);}return res;}vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str){for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {const int t = str[i] - '0';pre = pow(pre, mat, t);mat = pow(mat, mat, 9);}return pre;}vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a){vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));return multiply(a, b);}vector<vector<T>> CreateRow(int C) {return vector<vector<T>>(1, vector<T>(C));}vector<vector<T>> CreateUint(int RC) {vector<vector<T>> ret(RC, vector<T>(RC));for (int i = 0; i < RC; i++) { ret[i][i] = 1; }return ret;}
protected:const T m_llMod;
};
class Solution {
public:int Ans(long long n, int k, const vector<int>& as) {const int MOD = 998244353;typedef C1097Int<MOD> BI;vector<long long> pre(6);pre[k] = 1;vector<vector<long long>> tMat[3] = { CreateMat0(),CreateMat1(),CreateMat2() };vector<vector<long long>> nmat[4] = { tMat[as[0] - 1],tMat[as[1] - 1] ,tMat[as[2] - 1] ,tMat[as[3] - 1] };CMatMul<long long> mat(MOD);auto umat = nmat[0];for (int i = 1; i <= 3; i++){umat = mat.multiply(umat, nmat[i]);}auto ans = mat.pow(vector<vector<long long>>{pre}, umat, n / 4);for (int i = 0; i < n % 4; i++) {ans = mat.multiply(ans, nmat[i]);}return accumulate(ans[0].begin(), ans[0].end(), BI()).ToInt();}vector<vector<long long>> CreateMat0() {vector<vector<long long>> mat(6, vector<long long>(6));for (int i = 0; i < 6; i++) {mat[i][min(5, i + 1)] = 1;}return mat;}vector<vector<long long>> CreateMat1() {vector<vector<long long>> mat(6, vector<long long>(6));for (int i = 0; i < 6; i++) {if (i > 0) {mat[i][i - 1] = 1;}else {mat[i][min(5, i + 1)] = 1;}}return mat;}vector<vector<long long>> CreateMat2() {vector<vector<long long>> mat(6, vector<long long>(6));for (int i = 0; i < 6; i++) {if (i > 0) {mat[i][i - 1] = 1;}mat[i][min(5, i + 1)] = 1;}return mat;}
};
int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;long long n,k;cin >> n >> k;auto as = Read<int>(4);#ifdef _DEBUG //printf("N=%d", N);//Out(as, ",as=");//Out(bs, ",bs=");//Out(str2, ",str2=");//Out(que, ",ope=");
#endif // DEBUG auto res = Solution().Ans(n,k,as);cout << res; }
单元测试
TEST_METHOD(TestMethod11){ auto res = Solution().Ans(12, 1, { 2,3,2,1 });AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){auto res = Solution().Ans(8, 5, { 2,1,1,3 });AssertEx(4, res);}
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| 闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
| 失败+反思=成功 成功+反思=成功 |
视频课程
先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
