蒙特卡洛模拟入门笔记：从原理到代码实践

一、什么是蒙特卡洛模拟？

蒙特卡洛模拟是一种通过大量随机实验来解决复杂问题的方法。简单说，就是用电脑模拟成千上万次随机事件，然后统计结果，以此估算一个问题的答案。

举个生活中的例子：想知道 "掷 100 次骰子，总和在 300 到 400 之间的概率"，不需要真的掷 100 次骰子，而是用电脑模拟这个过程 10000 次，最后统计总和在 300-400 之间的次数占比 —— 这就是蒙特卡洛模拟的核心思路。

二、蒙特卡洛模拟的基本步骤

1. 确定问题的范围（比如骰子的点数范围是 1-6）
2. 生成大量随机样本（比如模拟掷 10000 次骰子）
3. 计算每个样本的结果（比如每次掷骰子的总和）
4. 统计分析结果（比如计算平均值、概率等）

三、用 Python 实现蒙特卡洛模拟

下面我们用一个简单的例子来实践蒙特卡洛模拟，目标是估算函数y = sin(x) + 0.5x在x=0到x=10范围内的平均输出值。

步骤 1：导入需要的工具库

首先需要导入两个常用的 Python 库：numpy用于数值计算和生成随机数，matplotlib用于画图展示结果。

# 导入工具库
import numpy as np  # 用于生成随机数和数学计算
import matplotlib.pyplot as plt  # 用于绘制结果图表

步骤 2：定义要模拟的函数

我们需要一个 "目标函数"，这里选择简单的y = sin(x) + 0.5x（sin 是正弦函数，不用深究数学原理，只需要知道输入 x 会输出对应的 y 即可）。

# 定义目标函数：输入x，输出对应的y值
def target_function(x):return np.sin(x) + 0.5 * x  # 函数公式：y = sin(x) + 0.5x

步骤 3：编写蒙特卡洛模拟函数

这个函数的作用是：在指定范围内随机生成大量 x 值，计算对应的 y 值，然后把所有结果存起来。

def monte_carlo_simulation(func, min_x, max_x, num_samples):"""func：要模拟的函数min_x：x的最小值（范围起点）max_x：x的最大值（范围终点）num_samples：模拟次数（样本数量）"""results = []  # 用列表存储所有模拟结果# 重复num_samples次模拟for i in range(num_samples):# 生成一个在[min_x, max_x]之间的随机x值x = np.random.uniform(min_x, max_x)# 计算这个x对应的函数值yy = func(x)# 把结果存入列表results.append(y)# 打印进度（每完成10%显示一次）if (i + 1) % (num_samples // 10) == 0:print(f"已完成 {i + 1}/{num_samples} 次模拟")return results  # 返回所有模拟结果

步骤 4：设置参数并运行模拟

我们设定 x 的范围是 0 到 10，模拟 1000 次（可以自己修改次数看看效果）。

# 设置模拟参数
x_min = 0          # x的最小值
x_max = 10         # x的最大值
sample_count = 1000  # 模拟次数（样本数量）# 运行蒙特卡洛模拟
print("开始模拟...")
simulation_results = monte_carlo_simulation(func=target_function,min_x=x_min,max_x=x_max,num_samples=sample_count
)
print("模拟完成！")

运行后会看到进度提示：

开始模拟...
已完成 100/1000 次模拟
已完成 200/1000 次模拟
...
已完成 1000/1000 次模拟
模拟完成！

步骤 5：分析模拟结果

模拟得到大量 y 值后，我们可以计算它们的平均值（估算函数的平均输出）和方差（估算结果的波动程度）。

# 计算统计指标
mean_value = np.mean(simulation_results)  # 平均值（期望值）
variance_value = np.var(simulation_results)  # 方差（波动程度）# 打印结果
print(f"\n统计结果：")
print(f"函数的平均输出值：{mean_value:.2f}")  # .2f表示保留两位小数
print(f"结果的方差（波动）：{variance_value:.2f}")

运行后会得到类似这样的结果：

统计结果：
函数的平均输出值：2.63
结果的方差（波动）：2.32

步骤 6：可视化模拟结果

用直方图可以更直观地看到所有 y 值的分布情况（哪些 y 值出现得更多）。

# 绘制直方图
plt.figure(figsize=(10, 6))  # 设置图表大小
plt.hist(simulation_results,  # 要展示的数据bins=30,  # 柱子的数量（越多越精细）edgecolor='black',  # 柱子边缘颜色alpha=0.7  # 透明度（0-1）
)# 设置图表标题和坐标轴标签
plt.title('蒙特卡洛模拟结果分布', fontsize=15)
plt.xlabel('函数输出值（y）', fontsize=12)
plt.ylabel('出现次数', fontsize=12)
plt.grid(alpha=0.3)  # 显示网格线（alpha控制透明度）# 显示图表
plt.show()

运行后会看到一个直方图，横轴是函数的输出值 y，纵轴是这个 y 值出现的次数。从图中可以清晰地看到：大部分结果集中在 2-3 之间，和我们计算的平均值（2.63）一致。

四、尝试修改参数，观察变化

为了更好地理解蒙特卡洛模拟，可以尝试修改以下参数，看看结果会发生什么变化：

1. 改变sample_count（比如改成 100 或 10000）：模拟次数越多，结果通常越稳定。
2. 调整x_min和x_max（比如改成 0 到 20）：x 的范围变了，函数的输出范围也会变化。
3. 修改target_function（比如改成return x**2计算平方函数）：不同的函数会有不同的结果分布。

五、总结

蒙特卡洛模拟的核心就是：用大量随机实验代替复杂计算。它不需要我们推导复杂的数学公式，只需要设定好范围，让电脑重复足够多次实验，就能估算出问题的答案。这种方法在金融、天气预测、游戏设计等很多领域都有广泛应用，掌握它能帮你解决很多看似复杂的问题！