SDPA（Scaled Dot-Product Attention）详解

SDPA（Scaled Dot-Product Attention，缩放点积注意力）是 Transformer 模型的核心计算单元，最早由 Vaswani 等人在 2017 年的论文《Attention Is All You Need》提出。它通过计算查询（Query）、键（Key）和值（Value）之间的相似度，生成上下文感知的表示。

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1. SDPA 的数学定义

给定：

• 查询矩阵（Query）：$Q\in {\mathbb{R}}^{n\times d_k}$
• 键矩阵（Key）：$K\in {\mathbb{R}}^{m\times d_k}$
• 值矩阵（Value）：$V\in {\mathbb{R}}^{m\times d_v}$

SDPA 的计算公式为：

$\text{Attention}(Q,K,V)=\text{softmax}\left(\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}}\right)V$

其中：

• $Q{K}^T$ 计算查询和键的点积（相似度）。
• $\sqrt{d_k}$ 用于缩放点积，防止梯度消失或爆炸（尤其是 $d_k$ 较大时）。
• softmax 将注意力权重归一化为概率分布。
• 最终加权求和 $V$ 得到输出。

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2. SDPA 的计算步骤

1. 计算相似度（Dot-Product）

• 计算 $Q$ 和 $K$ 的点积：
  $S=Q{K}^T$
• 相似度矩阵 $S\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ 表示每个查询对所有键的匹配程度。

2. 缩放（Scaling）

   • 除以 $\sqrt{d_k}$（键向量的维度），防止点积值过大导致 softmax 梯度消失：
     $S_{\text{scaled}}=\frac{S}{\sqrt{d_k}}$

3. Softmax 归一化

   • 对每行（每个查询）做 softmax，得到注意力权重 $A$：
     $A=\text{softmax}(S_{\text{scaled}})$
   • 保证 ${\sum }_j{A}_{i,j}=1$，权重总和为 1。

4. 加权求和（Value 聚合）

   • 用注意力权重 $A$ 对 $V$ 加权求和，得到最终输出：
     $\text{Output}=A\cdot V$
   • 输出维度：${\mathbb{R}}^{n\times d_v}$。

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3. SDPA 的作用与优势

✅ 核心作用：

• 让模型动态关注输入的不同部分（类似人类注意力机制）。
• 适用于序列数据（如文本、语音、视频），捕捉长距离依赖。

✅ 优势：

1. 并行计算友好

• 矩阵乘法（GEMM）可高效并行加速（GPU/TPU 优化）。

2. 可解释性
   • 注意力权重可视化（如 BertViz）可分析模型关注哪些 token。
3. 灵活扩展
   • 可结合 多头注意力（Multi-Head Attention） 增强表达能力。

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4. SDPA 的变体与优化

变体/优化	核心改进	应用场景
多头注意力（MHA）	并行多个 SDPA，增强特征多样性	Transformer (BERT, GPT)
FlashAttention	优化内存访问，减少 HBM 读写	长序列推理（如 8K+ tokens）
Sparse Attention	只计算局部或稀疏的注意力	降低计算复杂度（如 Longformer）
Linear Attention	用线性近似替代 softmax	低资源设备（如 RetNet）

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5. 代码实现（PyTorch 示例）

import torch
import torch.nn.functional as Fdef scaled_dot_product_attention(Q, K, V, mask=None):d_k = Q.size(-1)scores = torch.matmul(Q, K.transpose(-2, -1)) / (d_k ** 0.5)if mask is not None:scores = scores.masked_fill(mask == 0, -1e9)attn_weights = F.softmax(scores, dim=-1)output = torch.matmul(attn_weights, V)return output# 示例输入
Q = torch.randn(2, 5, 64)  # (batch_size, seq_len, d_k)
K = torch.randn(2, 5, 64)
V = torch.randn(2, 5, 128)
output = scaled_dot_product_attention(Q, K, V)
print(output.shape)  # torch.Size([2, 5, 128])

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6. 总结

• SDPA 是 Transformer 的基石，通过 Query-Key-Value 机制 + Softmax 归一化 实现动态注意力。
• 关键优化点：缩放（防止梯度问题）、并行计算、内存效率（如 FlashAttention）。
• 现代优化（如 SageAttention2）进一步结合 量化、稀疏化、离群值处理 提升效率。

SDPA 及其变体已成为 NLP、CV、多模态领域的核心组件，理解其原理对模型优化至关重要。

SDPA计算过程举例

我们通过一个具体的数值例子，逐步演示 SDPA 的计算过程。假设输入如下（简化版，便于手动计算）：

输入数据（假设 d_k = 2, d_v = 3）

• Query (Q)：2 个查询（n=2），每个查询维度 d_k=2
  $Q=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$
• Key (K)：3 个键（m=3），每个键维度 d_k=2
  $K=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\\ 9& 10\end{array}\right]$
• Value (V)：3 个值（m=3），每个值维度 d_v=3
  $V=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$

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Step 1: 计算 Query 和 Key 的点积（Dot-Product）

计算 $S=Q{K}^T$：

$Q{K}^T=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 5+2\cdot 6& 1\cdot 7+2\cdot 8& 1\cdot 9+2\cdot 10\\ 3\cdot 5+4\cdot 6& 3\cdot 7+4\cdot 8& 3\cdot 9+4\cdot 10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5+12& 7+16& 9+20\\ 15+24& 21+32& 27+40\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}17& 23& 29\\ 39& 53& 67\end{array}\right]$

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Step 2: 缩放（Scaling）

除以 $\sqrt{d_k}=\sqrt{2}\approx 1.414$：

$S_{\text{scaled}}=\frac{S}{\sqrt{2}}=\left[\begin{array}{ccc}17/1.414& 23/1.414& 29/1.414\\ 39/1.414& 53/1.414& 67/1.414\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}12.02& 16.26& 20.51\\ 27.58& 37.48& 47.38\end{array}\right]$

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Step 3: Softmax 归一化（计算注意力权重）

对每一行（每个 Query）做 softmax：

$\text{softmax}([12.02, 16.26, 20.51]) \approx [2.06 \times 10^{-4}, 0.016, 0.984] $
$\text{softmax}([27.58, 37.48, 47.38]) \approx [1.67 \times 10^{-9}, 0.0001, 0.9999] $

因此，注意力权重矩阵 $A$ 为：

$A\approx \left[\begin{array}{ccc}2.06\times 10^{-4}& 0.016& 0.984\\ 1.67\times 10^{-9}& 0.0001& 0.9999\end{array}\right]$

解释：

• 第 1 个 Query 主要关注第 3 个 Key（权重 0.984）。
• 第 2 个 Query 几乎只关注第 3 个 Key（权重 0.9999）。

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Step 4: 加权求和（聚合 Value）

计算 $\text{Output}=A\cdot V$：

$\text{Output}={\left[\begin{array}{c}2.06\times 10^{-4}\cdot 1+0.016\cdot 0+0.984\cdot 1\\ 2.06\times 10^{-4}\cdot 0+0.016\cdot 1+0.984\cdot 1\\ 2.06\times 10^{-4}\cdot 1+0.016\cdot 0+0.984\cdot 0\end{array}\right]}^T\approx {\left[\begin{array}{c}0.984\\ 1.000\\ 0.0002\end{array}\right]}^T$

$\text{Output}=\left[\begin{array}{ccc}0.984& 1.000& 0.0002\\ 0.9999& 0.9999& 0.0001\end{array}\right]$

解释：

• 第 1 行：主要聚合了第 3 个 Value [1, 1, 0]，但受前两个 Value 微弱影响。
• 第 2 行：几乎完全由第 3 个 Value 决定。

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最终输出

$\text{Output}\approx \left[\begin{array}{ccc}0.984& 1.000& 0.0002\\ 0.9999& 0.9999& 0.0001\end{array}\right]$

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总结

1. 点积：计算 Query 和 Key 的相似度。
2. 缩放：防止梯度爆炸/消失。
3. Softmax：归一化为概率分布。
4. 加权求和：聚合 Value 得到最终表示。

这个例子展示了 SDPA 如何动态分配注意力权重，并生成上下文感知的输出。实际应用中（如 Transformer），还会结合 多头注意力（Multi-Head Attention） 增强表达能力。