目录

1.树的概念及结构

1.1树的概念

1.2树的相关概念

1.3树的表示 

 1.4树在实际中的应用

2.二叉树概念及结构 

2.1二叉树的概念

2.2特殊的二叉树 

2.3二叉树的性质 

2.4应用题 

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1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，由 n（n≥0）个有限节点构成，这些节点按照层次关系组织成一个集合。之所以将其命名为“树”，是因为它的形态恰似一棵倒置的树——根在上，枝叶在下

树是由根节点和子树构成的，因此树是递归定义的 

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 

1.2树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层且彼此不是兄弟节点的节点；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林 

1.3树的表示 

在表示树时，一个节点的度一般是不确定的，所以存储起来就比较麻烦

既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，常用的表示方式是：孩子兄弟表示法

typedef int DataType;struct Node{struct Node* _firstChild1;    //指向第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点DataType _data;               //结点中的数据
}

 A没有兄弟节点， _pNextBrother指向空，然后只需要让_firstChild1指向B节点

B节点中的_pNextBrother就可以指向C，如此往复

想要增加B的兄弟节点，就在C后面尾插，想要增加B的子节点，就在E后面尾插

这种左孩子右兄弟的表示方法有效解决了未知度的问题 ，可以表示任意形状和度的树结构

 1.4树在实际中的应用

在Windows操作系统中，D盘类似于树结构中的根节点。

D盘中的文件夹形成层次结构，每个文件夹可以包含其他文件夹和文件，类似于树结构中的子树

文件在树结构中通常被视为叶节点，因为它们不包含其他子节点

2.二叉树概念及结构 

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 

 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树 

1. 满二叉树：一棵层数（高度）≥1的二叉树，

其中所有非叶子节点都有两个子节点，且所有叶子节点位于同一层

2.完全二叉树：一棵高度为 K 的二叉树，其前 K−1 层均为满二叉树结构，且第 K 层的所有节点均从左至右连续排列，无间隔缺失

所以，满二叉树是特殊的完全二叉树

2.3二叉树的性质 

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i - 1) 个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1

3. 对任何一棵非空二叉树, 如果度为0的叶结点个数为N0 , 度为2的分支结点个数为N2，

则                                           N0=N2+1

4.一棵K层的完全二叉树的节点个数范围 [ 2^(k-1) , 2^k -1 ]

5.完全二叉树中， 度数为1的节点个数 N1​ 只能是 0 或 1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= ,则有h = log₂(n + 1).

(ps：log₂(n + 1) 是log以2 为底，n+1为对数)

                                  2^h - 1 = n          h = log₂(n + 1)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有 

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；(计算机自动向下取整)

i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1 < n， 左孩子序号：2i+1 若 2i+1 >= n 否则无左孩子

3. 若2i+2 < n， 右孩子序号：2i+2 若 2i+2 >= n 否则无右孩子

如图所示，

 节点下标的2倍+1为该节点的左孩子的下标，

节点下标的2倍+2为该节点的左孩子的下标

子节点下标-1除以2(计算机自动向下取整)，得到子节点的父亲节点的下标

2.4应用题 

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为()

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

                                         运用公式 N0=N2+1

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

               N0=N2+1       2n=N0+N2+N1         完全二叉树中N1= 1或0

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

    2^9 = 512          2^10 = 1024

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

 N0=N2+1       767=N0+N2+N1         完全二叉树中N1= 1或0