数学模型：十大距离

十大距离

欧氏距离是最常用的距离度量方法之一，它衡量的是多维空间中两点之间的直线距离。

$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

曼哈顿距离也称为城市街区距离，它计算的是沿坐标轴方向的距离总和。

原理：对于二维平面上两点 $a = (x_1, y_1)$ 、 $b = (x_2, y_2)$ ，曼哈顿距离通常定义为
$d = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$

切比雪夫距离也称为棋盘距离，它衡量的是两点之间的最大坐标差。

原理：对于二维平面上的两点 $a = (x_1, y_1)$ 和 $b = (x_2, y_2)$ ，切比雪夫距离定义为：
$d = \max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)$

闵可夫斯基距离是欧氏距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离的一般化形式。

原理：对于二维平面上的两点 $a = (x_1, y_1)$ 和 $b = (x_2, y_2)$ ，闵可夫斯基距离定义为：
$(|x_1 - x_2|^p + |y_1 - y_2|^p)^{\frac{1}{p}}$

其中 $p$ 是参数，当 $p = 1$ 时，它等同于曼哈顿距离；当 $p = 2$ 时，它等同于欧氏距离；当 $\to \infty$ 时，它等同于切比雪夫距离。

标准化欧氏距离考虑了各个特征的尺度差异，通过标准差进行归一化。

原理：对于二维平面上的两点 $a = (x_1, y_1)$ 和 $b = (x_2, y_2)$ ，标准化欧氏距离定义为：
$\sqrt{\frac{(x_1 - x_2)^2}{s_x^2} + \frac{(y_1 - y_2)^2}{s_y^2}}$

其中 $s_x$ 和 $s_y$ 分别是 $x$ 和 $y$ 维度的标准差。

马氏距离考虑了特征之间的相关性，是标准化欧氏距离的进一步推广。

原理：对于二维向量 $a\mathbf{a}$ 和 $b\mathbf{b}$ ，马氏距离定义为：
$\sqrt{(\mathbf{a} - \mathbf{b})^T \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{a} - \mathbf{b})}$
其中 $S\mathbf{S}$ 是样本协方差矩阵。

余弦距离衡量的是两个向量之间的夹角，常用于文本分析和推荐系统。

原理：对于两个向量 $a\mathbf{a}$ 和 $b\mathbf{b}$ ，余弦相似度定义为：
$cos⁡(θ)=a⋅b∥a∥∥b∥\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$
余弦距离则定义为：
$\cos(\theta)$

汉明距离用于衡量两个等长字符串之间对应位置的不同字符的个数，虽然它通常用于字符串，但我们可以用二维平面上的二进制网格来可视化它。

原理：对于两个等长字符串（或二进制向量） $a\mathbf{a}$ 和 ( \mathbf{b} )，汉明距离定义为：
$\sum_{i=1}^{n} [a_i \neq b_i]$
其中 $[ai≠bi][a_i \neq b_i]$ 是指示函数，当 $ai≠bia_i \neq b_i$ 时为 1，否则为 0 。

杰卡德距离用于衡量两个集合的相似度。

原理：对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，杰卡德相似系数定义为：
$\frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}$
杰卡德距离则定义为：
$d = 1 - J (A, B)$

相关距离基于皮尔逊相关系数，用于衡量两个变量之间的线性关系。

原理：对于两个变量 $X$ 和 $Y$ ，皮尔逊相关系数定义为：
$ρ=Cov(X,Y)σXσY\rho = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

数据的泛化距离度量：作为欧氏距离、曼哈顿距离等的一般化形式，可根据不同的参数 ( p ) 灵活调整距离度量方式，适用于多种需要自定义距离度量的场景，如在不同特征分布的数据集中寻找合适的距离度量方式。
机器学习模型评估：在评估模型预测结果与真实值之间的差异时，通过调整 ( p ) 值来关注不同类型的误差，例如 ( p = 1 ) 时更关注绝对误差，( p = 2 ) 时更关注平方误差。

多特征数据的距离度量：当数据集中不同特征的尺度差异较大时，如在分析身高（厘米级）和体重（千克级）对个体分类的影响时，标准化欧氏距离能够消除特征尺度的影响，准确衡量样本之间的相似性。
模式识别与分类：在手写数字识别、图像分类等模式识别任务中，对不同维度特征进行标准化后再计算距离，提高分类的准确性。