Unity物理系统由浅入深第三节：物理引擎底层原理剖析

Unity物理系统由浅入深第一节：Unity 物理系统基础与应用
Unity物理系统由浅入深第二节：物理系统高级特性与优化
Unity物理系统由浅入深第三节：物理引擎底层原理剖析
Unity物理系统由浅入深第四节：物理约束求解与稳定性

Unity 物理系统底层使用的是 NVIDIA PhysX 引擎。理解 PhysX 或任何其他实时物理引擎（如 Havok, Bullet）的工作方式，对于一名进阶的 Unity 开发者来说，是极其宝贵的知识。本篇我们将从宏观到微观，逐步了解物理引擎的核心概念和主要算法。

1. 物理引擎概述：一个模拟真实世界的机器

物理引擎本质上是一个复杂的软件系统，它接收场景中所有具有物理属性（刚体、碰撞体等）的物体信息，然后在一个固定时间步（Fixed Timestep）内，迭代计算这些物体在各种力（重力、推力、摩擦力等）和约束（碰撞、关节）作用下的位置、速度和旋转，从而模拟出真实的物理行为。

一个典型的物理引擎循环（在每个 FixedUpdate 中执行）大致遵循以下步骤：

积分器 (Integrators)： 根据当前的速度和受到的力，预测物体在下一个时间步的位置和速度。
宽相碰撞检测 (Broad-Phase Collision Detection)： 快速找出场景中所有可能发生碰撞的物体对。
窄相碰撞检测 (Narrow-Phase Collision Detection)： 对上一步筛选出的可能碰撞对，进行精确的碰撞检测，计算出详细的碰撞信息（接触点、法线、穿透深度等）。
接触生成 (Contact Generation)： 根据窄相检测的结果，生成接触点（Contact Points）和接触法线（Contact Normals）。
约束求解器 (Constraint Solver)： 处理所有碰撞（以及关节）产生的约束。这是物理引擎最复杂的部分，它通过迭代计算来解决物体之间的相互作用，确保它们不会相互穿透，并且能正确反弹、滑动或连接。
更新状态： 根据求解器的结果，更新所有刚体的位置和速度。

2. 刚体动力学基础：物理引擎的语言

在深入算法之前，我们需要回顾一下物理学中的一些基本概念，它们是物理引擎的“语言”。

力 (Force)：改变物体运动状态的原因。单位牛顿 (N)。
质量 (Mass)：物体惯性的量度。单位千克 (kg)。
惯性 (Inertia)：物体保持其运动状态的特性。质量越大，惯性越大。
惯性张量 (Inertia Tensor)：描述刚体旋转惯性的一个 3x3 矩阵。它表示了物体在不同轴上抵抗旋转的能力。对于非球对称的物体，其旋转惯性在不同方向上是不同的。在 Unity 中，对于常见的原始碰撞体，PhysX 会自动计算好。对于 Mesh Collider，可能需要外部工具或手动计算。
线速度 (Linear Velocity)：物体直线运动的速度向量。
角速度 (Angular Velocity)：物体旋转的速度向量。
动量 (Momentum)：物体的质量与其线速度的乘积。
- $P = m v$
角动量 (Angular Momentum)：描述物体旋转运动的量。
- $I\omega$ (其中 $I$ 是惯性张量， $ω\omega$ 是角速度)
冲量 (Impulse)：在短时间内施加的巨大力。它直接导致动量的瞬间变化。
- $ΔP=FΔt\Delta P = F \Delta t$ (力乘以时间，或直接视为动量变化量)
扭矩 (Torque)：使物体产生旋转的力矩。它直接导致角动量的瞬间变化。
- $τ=r×F\tau = r \times F$ (力臂与力的叉乘)

物理引擎通过这些概念来计算和更新物体的运动状态。例如，当施加一个力时，引擎会根据牛顿第二定律 $F = ma$ 来计算加速度，然后用积分器更新速度和位置。当发生碰撞时，引擎会计算一个冲量，施加到碰撞的物体上，使其反弹或滑动。

3. 积分器（Integrators）：连接现在与未来

积分器是物理引擎的“时间旅行者”，它们负责根据当前的速度和力，预测物体在下一个微小时间步长后的位置和速度。这是物理模拟的核心，因为我们需要连续地更新物体的状态。

欧拉积分 (Euler Integration)：
- 原理： 最简单也是最直观的积分方法。它假设在整个时间步长内，速度或力是恒定的，并直接通过当前的速度和加速度来更新位置和速度。
- 公式：
  - $vnew=vcurrent+a⋅Δtv_{new} = v_{current} + a \cdot \Delta t$
  - $xnew=xcurrent+vcurrent⋅Δtx_{new} = x_{current} + v_{current} \cdot \Delta t$
- 优点： 实现简单，计算速度快。
- 缺点： 精度最低，容易产生累积误差，导致能量损失或增加（物体可能会越弹越低或越弹越高），特别是在较大的时间步长下，可能导致数值不稳定。
- 示例： 在简单场景中可以接受，但在需要高精度模拟（如车辆、关节链）时则不够理想。
Verlet 积分 (Verlet Integration)：
- 原理： 一种更稳定且能更好地保持能量的积分方法。它不直接使用速度，而是利用当前位置和上一帧位置来计算新位置。速度是隐式包含的。
- 公式（简化版）：
  - $xnew=2xcurrent−xprevious+a⋅Δt2x_{new} = 2x_{current} - x_{previous} + a \cdot \Delta t^2$
- 优点： 能量守恒性好，数值稳定性强，即使在较大时间步长下也不太容易发散。
- 缺点： 无法直接访问速度，如果需要速度信息（例如用于碰撞响应），需要额外计算。
- 示例： 常用于粒子系统、布料模拟等对稳定性要求高的场景。
龙格-库塔积分 (Runge-Kutta Integration - RK4)：
- 原理： 一系列更高阶的积分方法，通过在时间步长内采样多个点来计算加权平均值，从而提高精度。RK4 是最常用的一种。
- 优点： 精度高，稳定性好，能够更准确地模拟复杂的物理系统。
- 缺点： 计算量远大于欧拉积分，因为需要在每个时间步内进行多次求值。
- 示例： 理论上最接近真实物理的积分方法，但在实时游戏中因性能开销大而较少直接用于大量刚体，更常见于需要高精度模拟的特定场景或离线物理模拟。

Unity PhysX 采用的积分器： 尽管 PhysX 的具体实现是专有的，但它通常使用经过优化的隐式欧拉积分（Implicit Euler）或类似的半隐式积分。这种方法结合了欧拉的简洁和一些稳定性优势，通过在迭代求解器中同时考虑当前和下一帧的状态来提高稳定性。它并不是单纯的显式欧拉积分。

4. 碰撞检测（Collision Detection）：寻找接触点

碰撞检测是物理引擎最核心、最耗性能的部分之一。它分为两个阶段：宽相检测和窄相检测。

4.1. 宽相检测（Broad-Phase Collision Detection）

目的： 快速排除场景中绝大多数不可能发生碰撞的物体对。这一步不需要精确的计算，只需要找出“可能”碰撞的候选对。
核心思想： 使用粗略的包围体（Bounding Volume），如 AABB (Axis-Aligned Bounding Box)，来近似表示物体的空间范围。如果两个 AABB 不重叠，那么它们内部的物体肯定不碰撞。
常用算法：
- AABB 树 (AABB Tree)：一种层次化的数据结构。将场景中的所有 AABB 组织成一棵树。检测时，只需遍历树，如果父节点的 AABB 不重叠，则其子节点也不可能重叠，从而快速排除大量物体。这是 PhysX 广泛使用的技术。
- SAP (Sweep and Prune / Sort and Sweep)：对所有物体在每个轴上的 AABB 投影进行排序。只有当两个物体的 AABB 在所有轴上都重叠时，才可能发生碰撞。通过维护排序列表，可以高效地找出重叠对。适用于物体数量不太多且运动方向较固定的场景。
- 网格/格子（Grids/Spatial Hashing）：将空间划分为规则的网格单元。每个单元存储其中包含的物体。检测时只检查相邻或同一单元格内的物体。适用于物体均匀分布的场景。

4.2. 窄相检测（Narrow-Phase Collision Detection）

目的： 对宽相检测筛选出的“可能”碰撞对，进行精确的几何测试，判断它们是否真的发生了碰撞，并计算出详细的碰撞信息（接触点、法线、穿透深度等）。
核心思想： 使用更精确的几何算法来处理复杂形状。
常用算法：
- GJK (Gilbert-Johnson-Keerthi Distance Algorithm)：
  - 原理： GJK 算法并不是直接找到碰撞点，而是用来判断两个凸包（Convex Hull）是否相交。它通过迭代寻找两个物体之间的最短距离向量。如果这个最短距离为零或指向内，则表示它们相交。
  - 优点： 效率高，适用于任意凸包形状，是现代物理引擎的核心。
  - 缺点： 只能判断是否相交，不能直接得到碰撞点和法线。
- EPA (Expanding Polytope Algorithm)：
  - 原理： EPA 通常紧接着 GJK 之后使用。当 GJK 判断两个物体相交后，EPA 会从 GJK 找到的“穿透方向”开始，在闵可夫斯基差集（Minkowski Difference）中扩展一个多面体，直到找到最接近原点的那个面。这个面就定义了最小穿透向量（法线和深度）。
  - 优点： 与 GJK 结合，可以准确地计算穿透深度和碰撞法线。
- SAT (Separating Axis Theorem - 分离轴定理)：
  - 原理： 对于两个凸体，如果它们不相交，那么一定存在一个轴，使得它们在这条轴上的投影互不重叠。反之，如果找不到这样的分离轴，则它们相交。对于多边形，需要测试所有边以及垂直于这些边的轴。
  - 优点： 简单易懂，对于多边形（2D）和多面体（3D）非常有效。
  - 缺点： 对于复杂形状，需要测试的轴可能很多，效率不如 GJK/EPA 组合。

4.3. 接触生成 (Contact Generation)

一旦窄相检测确定了碰撞，下一步就是生成一个或多个接触点 (Contact Point)。每个接触点包含了：
- 位置 (Position)：碰撞发生在世界空间中的坐标。
- 法线 (Normal)：指向从一个物体到另一个物体的方向。这决定了碰撞后的反弹方向。
- 深度 (Separation/Penetration Depth)：物体之间相互穿透的距离。这个信息对于约束求解器至关重要，因为它需要将物体推开。
对于复杂的碰撞，可能会生成多个接触点（例如，一个盒子平躺在地面上）。这些接触点会被收集起来，传递给下一步的约束求解器。