数论（Number Theory）是数学中研究整数的性质及其相互关系的一个分支，被誉为“数学中的皇后”。它历史悠久，内容丰富，既包含许多初等、直观的问题，也涉及高深、抽象的理论。数论的主要内容包括以下几个方面：

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一、初等数论（Elementary Number Theory）

这是数论中最基础的部分，主要研究整数的基本性质，通常不依赖高等数学工具（如分析、代数结构等），适合初学者入门。

1. 整除理论

• ​整除​：a | b 表示 a 整除 b，即存在整数 c 使得 b = a × c。
• ​最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）​​
• ​辗转相除法（欧几里得算法）​​：用于求两个数的最大公约数。
• ​贝祖定理（Bézout's identity）​​：对于任意整数 a 和 b，存在整数 x 和 y，使得 ax + by = gcd(a, b)。

2. 同余理论

• ​同余定义​：a ≡ b (mod m) 表示 a 与 b 除以 m 的余数相同。
• ​同余的基本性质​
• ​模运算​
• ​同余方程​：如线性同余方程 ax ≡ b (mod m)
• ​中国剩余定理（CRT）​​：解决一组同余方程的解的存在性与构造方法。

3. 素数与合数

• ​素数（质数）​​：大于1且只能被1和自身整除的数。
• ​合数​：不是素数的正整数（大于1）。
• ​素数分布​：如素数有无穷多个（欧几里得证明）。
• ​素数判定​：如试除法、费马小定理（用于素性测试，但不是充要条件）、米勒-拉宾测试等（更高级）。
• ​埃拉托斯特尼筛法​：寻找一定范围内的所有素数。

4. 素数定理（初等介绍）

• 描述素数在自然数中的分布渐近规律（更深入的内容属于解析数论）。

5. 二次剩余与勒让德符号

• 研究形如 x² ≡ a (mod p) 的解的存在性。
• 勒让德符号用于表示一个数是否为模某个奇素数的二次剩余。

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二、代数数论（Algebraic Number Theory）

这是数论与抽象代数（特别是域论、环论、Galois理论）相结合的产物，研究代数数域及其整数环中的数论问题。

主要内容：

• ​代数整数​：在代数数域中满足整系数多项式方程的数。
• ​数域与代数数域​：如有理数域的有限扩张。
• ​Dedekind 整环与理想分解​：代数整数环中的唯一分解不一定成立，用理想来弥补。
• ​类域论（Class Field Theory）​​：研究阿贝尔扩张与类群之间的关系，属于高深内容。
• ​Diophantine 方程的代数方法​

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三、解析数论（Analytic Number Theory）

利用数学分析（如微积分、复分析、无穷级数等）的工具来研究数论问题，尤其是素数分布等问题。

主要内容：

• ​素数定理​：π(x) ~ x / ln(x)，即小于等于 x 的素数个数渐近于 x/ln(x)。
• ​黎曼猜想（Riemann Hypothesis）​​：关于黎曼ζ函数的非平凡零点分布，是解析数论乃至整个数学中最重要的未解决问题之一。
• ​狄利克雷级数与L函数​
• ​欧拉乘积公式​
• ​切比雪夫函数、梅滕斯函数等​

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四、计算数论（Computational Number Theory） / 算法数论

研究数论问题中的算法设计与计算复杂性，广泛应用于密码学等领域。

主要内容：

• ​大整数运算与素性测试​
• ​模运算与快速幂算法​
• ​RSA、ECC等公钥密码体制的数论基础​
• ​离散对数问题​
• ​椭圆曲线上的点运算​
• ​格理论（Lattice Theory）与密码学中的应用​

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五、丢番图分析（Diophantine Analysis）

研究整系数多项式方程的整数解或有理数解，属于更广义的数论问题。

• ​丢番图方程​：如费马大定理（已被怀尔斯证明，n > 2 时 xⁿ + yⁿ = zⁿ 无正整数解）。
• ​佩尔方程（Pell’s Equation）​​：x² – Ny² = 1，N 是非平方正整数。
• ​勾股数组（毕达哥拉斯三元组）​​

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六、加法数论（Additive Number Theory）

研究整数的加法结构，比如表示成一个或多个整数的和的方式。

• ​哥德巴赫猜想​：每个大于2的偶数可表示为两个素数之和（未解决）。
• ​华林问题​：一个自然数可以表示为若干个k次幂之和的最少数量是多少。
• ​三素数定理（由维诺格拉多夫等人证明，是哥德巴赫猜想的弱化形式）​​

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七、模形式与自守形式（高级内容，属于现代数论）

• 模形式是与高度对称性相关的复变函数，在数论中有深刻应用，如在证明费马大定理中起了核心作用。
• 与椭圆曲线、伽罗瓦表示、朗兰兹纲领密切相关。

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总结：数论的主要分支概览

分支名称	主要工具/特点	研究内容举例
初等数论	整数、整除、同余、素数、模运算	GCD、LCM、同余方程、中国剩余定理、素数判定
代数数论	抽象代数、域论、环论、Galois理论	代数整数、理想、类群、Dedekind环
解析数论	复分析、级数、积分	素数定理、黎曼猜想、ζ函数
计算数论	算法、计算复杂性	素性测试、RSA、离散对数、椭圆曲线密码学
丢番图分析	Diophantine方程	费马大定理、佩尔方程、勾股数
加法数论	整数分解、表示问题	哥德巴赫猜想、华林问题
模形式与自守形式	复分析、对称性、表示论（高级）	与椭圆曲线、朗兰兹纲领、费马大定理相关

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如果你是初学者，建议从初等数论入手，掌握整除、同余、素数、最大公约数、中国剩余定理等内容，这些不仅是数论的基础，也在计算机科学（特别是密码学）中有广泛应用。