1. 算法逻辑

GBDT 是一种基于决策树的集成学习算法，属于 Boosting 家族。其核心思想是串行训练多个弱学习器（决策树），每棵树学习前序模型残差的负梯度，最终通过加权求和得到强学习器。核心逻辑如下：

• 初始化：用常数值初始化模型（如目标均值）
  $$F_0(x)=\arg \underset{\gamma }{\min }\sum _{i=1}^{n}L(y_i,\gamma )$$
• 迭代训练：
  • 计算当前模型的伪残差（负梯度）
  • 训练新树拟合该残差
  • 更新模型：$F_m(x)=F_{m-1}(x)+\nu h_m(x)$（$\nu$为学习率）
• 最终输出：加权树组合
  $$F(x)=\sum _{m=0}^M\nu h_m(x)$$

2. 算法原理与数学推导

2.1 目标函数

设训练集 $\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^n$，损失函数 $L(y,F(x))$，目标是最小化正则化目标函数：
$$\mathcal{L}=\sum _{i=1}^{n}L(y_i,F(x_i))+\sum _{m=1}^M\Omega (h_m)$$
其中 $\Omega (h_m)=\gamma T+\frac{1}{2}\lambda \Vert w{\Vert }^2$（$T$为叶子数，$w$为叶子权重）

2.2 负梯度计算

在第 $m$ 次迭代，计算伪残差：
$$r_{im}=-{\left[\frac{\partial L(y_i,F(x_i))}{\partial F(x_i)}\right]}_{F(x)=F_{m-1}(x)}$$

损失函数	伪残差 $r_{im}$
平方损失	$y_i-F_{m-1}(x_i)$
绝对损失	$\text{sign}(y_i-F_{m-1}(x_i))$
Huber损失	分段函数
对数损失（分类）	$y_i-\frac{1}{1+e^{-F_{m-1}(x_i)}}$

2.3 决策树拟合

训练新树 $h_m$ 拟合伪残差 $\{(x_i,r_{im})\}$，通过递归分裂节点：

• 分裂准则：最大化增益（Gain）
  $$\text{Gain}=\frac{1}{2}\left[\frac{G_L^2}{H_L+\lambda }+\frac{G_R^2}{H_R+\lambda }-\frac{(G_L+G_R{)}^2}{H_L+H_R+\lambda }\right]-\gamma$$
  其中 $G={\sum }_{i\in I}{g}_i$，$H={\sum }_{i\in I}{h}_i$（$g_i$为一阶导，$h_i$为二阶导）

2.4 叶子权重计算

对叶子节点 $j$，最优权重为：
$$w_j^{\ast }=-\frac{{\sum }_{i\in I_j}{g}_i}{{\sum }_{i\in I_j}{h}_i+\lambda }$$

2.5 模型更新

$$F_m(x)=F_{m-1}(x)+\nu \sum _{j=1}^J{w}_{j}1(x\in R_j)$$

3. 模型评估

评估指标

任务类型	常用指标
回归	MSE, MAE, $R^2$
分类	Accuracy, F1-Score, AUC-ROC
排序	NDCG, MAP

防止过拟合

• 早停法：验证集性能不再提升时停止迭代
• 正则化：通过 $\gamma$, $\lambda$ 控制复杂度
• 子采样：每次迭代随机选择部分样本或特征

4. 应用案例

4.1 金融风控

• 场景：信用评分卡
• 特征：收入、负债比、交易频率
• 效果：AUC 提升 12% 对比逻辑回归

4.2 推荐系统

• 场景：电商点击率预测
• 特征组合：自动学习“用户年龄×商品类别”等交叉特征
• 优势：处理高维稀疏特征优于协同过滤

4.3 计算机视觉

• 场景：图像语义分割
• 做法：GBDT 处理 CNN 提取的特征向量
• 结果：在 Pascal VOC 上 mIOU 提升 3.2%

5. 面试题及答案

Q1：GBDT 为什么拟合负梯度？
A：通过梯度下降在函数空间优化，负梯度是损失下降最快的方向。

Q2：如何处理分类特征？
A：最佳实践是使用直方图算法（如 LightGBM）：

1. 按特征取值排序
2. 根据梯度直方图寻找最优分裂点
3. 复杂度从 $O(\#\text{categories})$ 降至 $O(\text{bin})$

Q3：GBDT vs Random Forest？

维度	GBDT	Random Forest
基学习器关系	串行依赖	并行独立
偏差-方差	低偏差	低方差
过拟合	易过拟合（需早停）	抗过拟合能力强
数据敏感度	需特征缩放	无需特征缩放

6. 优缺点分析

优点

1. 非线性能力强：自动捕捉高阶交互特征
2. 鲁棒性好：对异常值和缺失值不敏感
3. 可解释性：可通过特征重要性分析（累积分裂增益）
   $${\text{Importance}}_j=\sum _{\text{splits}(j)}\text{Gain}$$
4. 适用广泛：支持回归/分类/排序任务

缺点

1. 训练效率低：串行训练无法并行化（改进：LightGBM 用 leaf-wise 生长）
2. 高维稀疏数据：文本数据表现不如神经网络
3. 超参敏感：需精细调参（树深度、学习率等）

7. 数学推导示例（回归问题）

目标：最小化平方损失 $L=\frac{1}{2}(y_i-F(x_i){)}^2$
伪残差：
$$r_i=-\frac{\partial L}{\partial F}{|}_{F=F_{m-1}}=y_i-F_{m-1}(x_i)$$
叶子权重（设 $\lambda =0$）：
$$w_j^{\ast }=\frac{{\sum }_{i\in R_j}{r}_i}{|R_j|}=\text{残差的均值}$$
模型更新：
$$F_m(x)=F_{m-1}(x)+\nu \sum _{j=1}^J{w}_{j}1(x\in R_j)$$

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💡 关键洞察：GBDT 将优化问题转化为函数空间的梯度下降，每棵树对应一次梯度更新。实际应用优先选择改进算法（XGBoost/LightGBM/CatBoost），它们在效率、准确性和工程实现上均有显著提升。