例

求满足 $P(x_j)=f(x_j)$ ($j=0,1,2$) 及 $P^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)$ 的插值多项式及其余项表达式。

解：

由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式。此多项式通过点$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1))$及$(x_2,f(x_2))$，故形式为
$P(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$,

其中A为待定常数，可由条件$P^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)$确定

$$A=\frac{f^{\prime }(x_1)-f[x_0,x_1]-(x_1-x_0)f[x_0,x_1,x_2]}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$$

为求出余项$R(x)=f(x)-P(x)$的表达式,设
$$R(x)=f(x)-P(x)=K(x)(x-x_0{)}^2(x-x_1{)}^2(x-x_2)$$

其中$K(x)$为待定函数。

构造
$$\phi (t)=f(t)-P(t)-K(x)(t-x_0{)}^2(t-x_1{)}^2(t-x_2)$$

显然$\phi (x_j)=0(j=0,1,2)$，且${\phi }^{\prime }(x_1)=0,\phi (x)=0$，故$\phi (t)$在$(a,b)$内有五个零点(重根算两个)。

由Rolle 定理，${\phi }^{(4)}(t)$在$(a,b)$内至少有一个零点$\xi$，故
$${\phi }^{(4)}(\xi )=f^{(4)}(\xi )-4!K(x)=0$$

于是$K(x)=f^{(4)}(\xi )/4!$，余项表达式为
$$R(x)=f^{(4)}(\xi )(x-x_0)(x-x_1{)}^2(x-x_2)/4!$$
其中$\xi$位于$x_0,x_1,x_2$和$x$所界定的范围内.