前言

本篇内容下载于网络，网络上的都是以 WORD 版本呈现，缺字缺图很不完整，没法使用，我只是做了补充和完善。有空准备进行第二次完善，添加问题解释的链接。

集合与函数

1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件$A\subseteq B$时，易忽略$A=\varnothing$的情况；

3.你会用补集的思想解决有关问题吗？正难则反！

4.简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分条件与必要条件？

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别吗？

案例：原命题"若$x>2$，则$x^2>4$"，其否命题是"若$x\le 2$，则$x^2\le 4$"；而命题的否定形式是"存在$x>2$且$x^2\le 4$"。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式时，易忽略标注该函数的定义域。

9.原函数在区间$[-a，a]$上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。[现行教材不要求掌握] 更多

例如：函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x& -1\le x\le 0\\ x+1& 0<x\le 1\end{array}$是有反函数的，其反函数$f^{-1}(x)=\{\begin{array}{ll}-x& 0\le x\le 1\\ x-1& 1<x\le 2\end{array}$，但是其反函数不单调；

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？定义法（取值，作差，判正负）和导数法。

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“$\cup$”和“或”，要用“逗号”或者“和”来表示；并且单调区间不能用集合的描述法或不等式表示。

说明：比如函数$y=f(x)=\frac{1}{x}$，其单调递减区间有$(-\infty ，0)$和$(0，+\infty )$，如果写成单调区间是$(-\infty ，0)$$\cup$$(0，+\infty )$，则意味着可以这样取值$x_1$$\in$$(-\infty ，0)$，$x_2$$\in$$(0，+\infty )$，必然满足$x_1$$<$$x_2$，但是这时候由图像会出现一个怪异的结论$f(x_1)$$<$$f(x_2)$，那么由定义可以知道，函数$f(x)$应该是单调递增函数，可是这怎么会呢？错误就出在当你用并集符号将两个单调递减区间并在一起，就容许了这样的取值方式，理解了这一点，以后你就不会再犯同样的错误了。

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题？①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围(恒成立问题)。这几种基本应用你掌握了吗？

14.解抽象函数不等式时，如果题目告诉函数$f(x)$是偶函数，你能联想到使用$f(x)=f(-x)=f(|x|)$吗？

15.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？(真数大于零，底数大于零且不等于1，如果底数是字母，还需讨论).

16.三个二次(哪三个二次？)的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？

17.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

比如令$t=sin\theta +cos\theta ，则t\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$；

再比如$t=k+\frac{1}{k}(k\ne 0)$，则$t\le -2或t\ge 2$；若$k>0$，则$t\ge 2$；

18.“实系数一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$有实数解”转化为$\Delta =b^2-4ac\ge 0$时，你是否注意必须到$a\ne 0$；当$a=0$时，“方程有解”不能转化为$\Delta =b^2-4ac\ge 0$。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

不等式

19.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正；二定；三等”；如果均值不等式使用失效时，你能想起来用对勾函数$y=x+\frac{k}{x}(k>0)$吗？

20.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？

21.解分式不等式应注意什么问题？用“根轴法”解整式（分式）不等式的注意事项是什么？

22.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”。

23.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示。

24.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”；即$ab>0$，若$a>b$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$，说穿了就是函数$y=f(x)=\frac{1}{x}$的性质应用。

数列

25.解决有些等比数列的前$n$项和问题时，你注意到要对公比$q$分两种情况$q=1，q\ne 1$进行讨论了吗？对于有些题目只给定前$3$或$4$项的和时，如果使用定义式$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$，可以避免分类讨论；

26.在“已知$S_n$，求$a_n$”的问题中，你在利用公式$a_n=\{\begin{array}{ll}{S}_1& n=1\\ S_n-S_{n-1}& n\ge 2\end{array}$时注意到这是个分段函数了吗？（$n=1$时，应有$S_1=a_1$）需要验证，如果不能合二为一，就需要将通项公式用分段函数来表达刻画。

27.你知道$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n$存在的条件吗($-1<q\le 1$)？（你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列 { a n } \{a_n\} {an​}的前$n$项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？(无穷递缩等比数列) [现行教材不要求掌握]

28.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题？（数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的，是离散取值的。）

29.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从$n$$=$$k$到$n$$=$$k+1$的推导过程中，先假设时$n$$=$$k$($k$$\ge$$n_0)$时命题成立，再结合一些数学方法用来证明$n$$=$$k+1$时也成立，此时必须要使用上$n$$=$$k$($k$$\ge$$n_0)$时的归纳假设。

三角函数

30.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗？，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢？你知道锐角与第一象限的角；终边相同的角和相等的角的区别吗？

31.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的定义你知道吗？ 一个重要的三角不等式$x\in (0，\frac{\pi }{2})，sinx<x<tanx$.

32.在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？比如$y=\frac{sinx-1}{sinx+2}$，当反解出$sinx=\frac{-2y-1}{y-1}$，可以利用$|sinx|=|\frac{-2y-1}{y-1}|\le 1$求得$y$的取值范围，即函数的值域。

33.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角。异角化同角，异名化同名，高次化低次）

34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？

35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质。你会写三角函数的单调区间吗？会写简单的三角不等式的解集吗？（要注意数形结合与书写规范，可别忘了），你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗？

36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

（1）函数图象的平移为 “向左为 $+$ 向右为 $-$，向上为 $+$ 向下为 $-$ ”；如函数$y=2^x$的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为$y=2^{x+2}-3$。

（2）点的平移为 “ 向左为 $-$ 向右为 $+$，向上为 $+$ 向下为 $-$ ”；如点$P(x，y)$向左3个单位，再向上2个单位后得到的点$P^{\prime }(x-3，y+2)$。

（3）方程表示的图形的平移为 “向左为 $+$ 向右为 $-$，向上为 $-$ 向下为 $+$ ” ；如圆$x^2+y^2=1$左移2个单位且下移3个单位得到方程表达式为$(x+2{)}^2+(y+3{)}^2=1$。

（4）按向量平移的几个结论：

• 点$P(x，y)$按向量$\vec{a}=(h，k)$平移后得到点$P^{\prime }(x+h，y+k)$；
• 函数$y=f(x)$的图像$C$按向量$\vec{a}=(h，k)$平移后得到图像$C^{\prime }$，则$C^{\prime }$的函数解析式为$y=f(x-h)+k$；
• 曲线$C：f(x，y)=0$按向量$\vec{a}=(h，k)$平移后得到图像$C^{\prime }$，则$C^{\prime }$的方程为$f(x-h，y-k)=0$；
• 向量$\vec{m}=(x，y)$按向量$\vec{a}=(h，k)$平移后得到的向量仍然为向量$\vec{m}=(x，y)$。

37.在三角函数中解决给值求角时，注意考虑两方面了吗？（先求出这个角$\theta$的某一个三角函数值$f(\theta )$，再判定角$\theta$的范围）

38.形如$y=A\sin (\omega \cdot x+\varphi )+k$和$y=A\cos (\omega \cdot x+\varphi )+k$的周期都是$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，但$y=A\tan (\omega \cdot x+\varphi )+k$的周期为$T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

39.正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$使用时，易忘比值还等于$2R$，还能想到边化角$a=2RsinA$，角化边$sinA=\frac{a}{2R}$.