洛谷P1107 [BJWC2008] 雷涛的小猫

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题目背景

原最大整数参见 P1012

题目描述

雷涛同学非常的有爱心，在他的宿舍里，养着一只因为受伤被救助的小猫（当然，这样的行为是违反学生宿舍管理条例的）。在他的照顾下，小猫很快恢复了健康，并且愈发的活泼可爱了。

可是有一天，雷涛下课回到寝室，却发现小猫不见了！经过一番寻找，才发现她正趴在阳台上对窗外的柿子树发呆…

在北京大学的校园里，有许多柿子树，在雷涛所在的宿舍楼前，就有 $N$ 棵。并且这 $N$ 棵柿子树每棵的高度都是 $H$。冬天的寒冷渐渐笼罩了大地，树上的叶子渐渐掉光了，只剩下一个个黄澄澄的柿子，看着非常喜人。而雷涛的小猫恰好非常的爱吃柿子，看着窗外树上的柿子，她十分眼馋，于是决定利用自己敏捷的跳跃能力跳到树上去吃柿子。

小猫可以从宿舍的阳台上跳到窗外任意一棵柿子树的树顶。之后，她每次都可以在当前位置沿着当前所在的柿子树向下跳 $1$ 单位距离。当然，小猫的能力远不止如此，她还可以在树之间跳跃。每次她都可以从当前这棵树跳到另外的任意一棵，在这个过程中，她的高度会下降 Delta 单位距离。每个时刻，只要她所在的位置有柿子，她就可以吃掉。整个“吃柿子行动”一直到小猫落到地面上为止。

雷涛调查了所有柿子树上柿子的生长情况。他很想知道，小猫从阳台出发，最多能吃到多少柿子？他知道写一个程序可以很容易的解决这个问题，但是他现在懒于写任何代码。于是，现在你的任务就是帮助雷涛写一个这样的程序。

图为 $N=3,H=10,Delta=2$ 的一个例子。小猫按照图示路线进行跳跃，可以吃到最多的 $8$ 个柿子。

输入格式

第一行有三个以空格分隔的整数，分别代表 $N,H,Delta$。

接下来的 $N$ 行，每行第一个整数为 $N_i$，代表第 $i$ 棵树上的柿子数量。

接下来是 $N_i$ 个整数，每个整数 $T_{i,j}$ 代表第 $i$ 棵柿子树的 $T_{i,j}$ 高度上长有一个柿子。

输出格式

一个整数，即小猫最多吃到的柿子数。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 10 2
3 1 4 10
6 3 5 9 7 8 9
5 4 5 3 6 9

输出 #1

8

说明/提示

数据范围及约定

对于全部数据，$1\le N,H\le 2000$，$0\le N_i\le 5000$，$1\le Delta\le H,1\le T_{i,j}\le H$。

输入文件大小不大于 40MB。注意输入输出效率。

来源 Excalibur, 2008。

思路详解

显然，这是一道dp题，由于从上到下不好搞，我们将其倒一下，将其变为从下到上，及高度从1到$H$。dp思路如下：

1. dp定义：令$d{p}_{i,j}$为高度为$i$，在$j$树上可以吃到的柿子数量。
2. 状态转移：显然可得$d{p}_{i,j}=max(d{p}_{i-1,j},d{p}_{i-dlt,k})+a_{i,j}$，其中$a_{i,j}$表示第$j$棵树高度为$i$的柿子数量。状态转移的原理是因为他可能从当前这棵树的$i-1$高度跳上，或从其他树的$i-dlt$位置跳上。
3. 答案：显然答案为$max(d{p}_{H,k})$

但我们发现，我们枚举$i$要$O(N)$，枚举$j$要$O(N)$，枚举$k$还要$O(N)$，显然时间复杂度为$O(N^3)$是要超的。考虑如何优化。
由于要求的最大值得高度是确定的，我们考虑采用一个$pr{e}_i$数组保存高度为$i$的最大值。这样时间复杂度就变为了$O(N\ast 2)$，而且答案都变为了$pr{e}_H$，极其简洁。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005;
int n,m,dlt;
int a[N][N],dp[N][N],pre[N];
int main(){cin>>n>>m>>dlt;for(int i=1;i<=n;i++){int l;cin>>l;for(int j=1;j<=l;j++){int x;cin>>x;a[x][i]++;//记录a数组}}for(int i=1;i<=m;i++){//一定要先枚举高度for(int j=1;j<=n;j++){//在枚举哪棵树dp[i][j]=dp[i-1][j]+a[i][j];//状态转移dp[i][j]=max(dp[i][j],pre[max(0,i-dlt)]+a[i][j]);pre[i]=max(pre[i],dp[i][j]);//求解pre}}cout<<pre[m];return 0;
}