VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）简介与简单示例

前言

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文章目录

前言
- - 一、VIKOR 方法概述
  - 二、核心步骤与公式（结合算法）
  - - 1. 输入：决策矩阵与准则权重
    - 2. 步骤 1：归一化决策矩阵（消除量纲）
    - 3. 步骤 2：确定理想解与负理想解
    - 4. 步骤 3：计算 $S_j$ （群体效用）与 $R_j$ （个体遗憾）
    - 5. 步骤 4：计算综合得分 $Q_j$
    - 6. 步骤 5：方案排序
  - 三、关键特点与优势
  - 五、与其他 MCDM 方法的对比
  - 六、总结
简单示例
- - 代码说明：

一、VIKOR 方法概述

VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）是由 Opricovic 提出的多准则决策（MCDM）方法，核心逻辑是通过“接近理想解的妥协解”排序方案。它结合“群体效用最大化”和“个体遗憾最小化”，适合解决多准则下的方案优选问题（如工程设计、供应链评估）。
在这里插入图片描述

二、核心步骤与公式（结合算法）

1. 输入：决策矩阵与准则权重

决策矩阵： $A=(aij)n×m\mathbf{A} = (a_{ij})_{n \times m}$ （ $n$ 准则数， $m$ 方案数， $a_{ij}$ 是方案 $j$ 在准则 $i$ 下的值）。
准则权重： $w_i$ （ $∑wi=1\sum w_i = 1$ ，表示准则 $i$ 的重要性）。

2. 步骤 1：归一化决策矩阵（消除量纲）

对原始矩阵按列归一化，公式：
$xˉij=aij∑j=1maij2\bar{x}_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sqrt{\sum_{j=1}^m a_{ij}^2}}$

作用：将不同量纲的准则值统一到 $[0, 1]$ 区间。

3. 步骤 2：确定理想解与负理想解

对每个准则 $i$ ，找到最优值 $f_i^*$ （最大化准则取最大值，最小化准则取最小值）和最劣值 $f_i^-$ （反之）：
$fi∗=max⁡jxˉij,fi−=min⁡jxˉijf_i^* = \max_j \bar{x}_{ij}, \quad f_i^- = \min_j \bar{x}_{ij}$

4. 步骤 3：计算 $S_j$ （群体效用）与 $R_j$ （个体遗憾）

群体效用 $S_j$ ：方案 $j$ 与理想解的“群体效用差”，公式：
$Sj=∑i=1nwi⋅fi∗−xˉijfi∗−fi−S_j = \sum_{i=1}^n w_i \cdot \frac{f_i^* - \bar{x}_{ij}}{f_i^* - f_i^-}$
- 意义： $S_j$ 越小，方案对“群体效用”的贡献越大。
个体遗憾 $R_j$ ：方案 $j$ 与理想解的“最大个体遗憾”，公式：
$Rj=max⁡i[wi⋅fi∗−xˉijfi∗−fi−]R_j = \max_i \left[ w_i \cdot \frac{f_i^* - \bar{x}_{ij}}{f_i^* - f_i^-} \right]$
- 意义： $R_j$ 越小，方案的“最坏情况遗憾”越小。

5. 步骤 4：计算综合得分 $Q_j$

融合 $S_j$ 和 $R_j$ ，公式：
$Qj=ν⋅Sj−S∗S−−S∗+(1−ν)⋅Rj−R∗R−−R∗Q_j = \nu \cdot \frac{S_j - S^*}{S^- - S^*} + (1-\nu) \cdot \frac{R_j - R^*}{R^- - R^*}$
其中：

$S^* = \min_j S_j$ （最优群体效用）， $S^- = \max_j S_j$ （最劣群体效用）；
$R^* = \min_j R_j$ （最优个体遗憾）， $R^- = \max_j R_j$ （最劣个体遗憾）；
$ν\nu$ ：妥协系数（通常取 $0.5$ ，平衡“群体效用”与“个体遗憾”）。

6. 步骤 5：方案排序

按 $Q_j$ 升序排序， $Q_j$ 越小，方案越优（越接近理想解的妥协解）。

三、关键特点与优势

妥协解逻辑：
同时考虑“群体效用最大化”（ $S_j$ ）和“个体遗憾最小化”（ $R_j$ ），避免单一目标的极端化。
参数 $ν\nu$ 的调节：
- $ν=0.5\nu = 0.5$ ：平衡群体与个体；
- $ν>0.5\nu > 0.5$ ：侧重“群体效用”（多数规则）；
- $ν<0.5\nu < 0.5$ ：侧重“个体遗憾”（否决规则）。
适用场景：
适合“需平衡多方利益”的决策（如供应链中“成本、效率、风险”的权衡）。

五、与其他 MCDM 方法的对比

方法	核心差异点	适用场景
VIKOR	强调“妥协解”，平衡群体效用与个体遗憾，适合需兼顾多方利益的决策	供应链优化、公共政策决策
TOPSIS	通过“距离理想解的相对位置”排序，侧重“接近度”，对异常值敏感	数据波动小的决策场景
COPRAS	区分最大化/最小化准则，通过相对显著性强化最小化准则的影响	工程设计、成本敏感型决策

六、总结

VIKOR 是一种**兼顾“群体利益”与“个体遗憾”**的多准则决策方法，核心通过 $S_j$ （群体效用）、 $R_j$ （个体遗憾）和 $Q_j$ （综合得分）排序方案。其公式设计体现了“妥协优化”思想，尤其适合需平衡多方诉求的复杂决策场景（如城市规划、项目投资）。

简单示例

下面是一个使用VIKOR优化方法的MATLAB实现。这个示例解决了一个经典的"供应商选择"问题，通过VIKOR方法在多个准则下对备选方案进行排序和选择。

%% VIKOR（Multi-criteria Optimization and Compromise Solution）优化方法示例
clear; clc; close all;%% 1. 定义问题数据
% 备选方案（供应商）
alternatives = {'供应商A', '供应商B', '供应商C', '供应商D', '供应商E'};
num_alternatives = length(alternatives);% 评价准则
criteria = {'价格', '质量', '交货期', '服务水平', '环保性'};
num_criteria = length(criteria);% 准则权重（可通过AHP等方法确定）
weights = [0.25, 0.20, 0.15, 0.20, 0.20];% 决策矩阵（方案在各准则下的表现）
% 注："价格"为最小化准则，其余为最大化准则
decision_matrix = [80, 7, 9, 8, 7;    % 供应商A90, 8, 7, 9, 8;    % 供应商B70, 9, 6, 7, 9;    % 供应商C60, 6, 8, 6, 6;    % 供应商D85, 7, 10, 8, 8;   % 供应商E
];% 标记准则类型（1=最大化，0=最小化）
criteria_type = [0, 1, 1, 1, 1];% VIKOR妥协系数（通常取0.5，平衡群体效用与个体遗憾）
v = 0.5;%% 2. VIKOR计算流程
% 步骤1：归一化决策矩阵（向量归一化）
normalized_matrix = zeros(size(decision_matrix));
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化准则normalized_matrix(:,j) = decision_matrix(:,j) / norm(decision_matrix(:,j));else  % 最小化准则normalized_matrix(:,j) = min(decision_matrix(:,j)) ./ decision_matrix(:,j);normalized_matrix(:,j) = normalized_matrix(:,j) / norm(normalized_matrix(:,j));end
end% 步骤2：确定理想解和负理想解
f_star = zeros(1, num_criteria);
f_minus = zeros(1, num_criteria);
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化准则f_star(j) = max(normalized_matrix(:,j));f_minus(j) = min(normalized_matrix(:,j));else  % 最小化准则f_star(j) = min(normalized_matrix(:,j));f_minus(j) = max(normalized_matrix(:,j));end
end% 步骤3：计算S和R值
S = zeros(num_alternatives, 1);
R = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriaS(i) = S(i) + weights(j) * (f_star(j) - normalized_matrix(i,j)) / (f_star(j) - f_minus(j));temp_R = weights(j) * (f_star(j) - normalized_matrix(i,j)) / (f_star(j) - f_minus(j));if temp_R > R(i)R(i) = temp_R;endend
end% 步骤4：计算Q值
S_star = min(S);
S_minus = max(S);
R_star = min(R);
R_minus = max(R);Q = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesQ(i) = v * (S(i) - S_star) / (S_minus - S_star) + (1-v) * (R(i) - R_star) / (R_minus - R_star);
end% 步骤5：排序
[Q_sorted, sort_idx] = sort(Q, 'ascend');
S_sorted = S(sort_idx);
R_sorted = R(sort_idx);%% 3. 可视化结果
% 3.1 决策矩阵热图
figure('Position', [100, 100, 1000, 800]);
subplot(2, 2, 1);
imagesc(decision_matrix);
title('原始决策矩阵');
xlabel('准则');
ylabel('方案');
set(gca, 'XTick', 1:num_criteria, 'XTickLabel', criteria);
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives);
colorbar;
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriatext(j, i, num2str(decision_matrix(i,j)), 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 10);end
end% 3.2 准则权重饼图
subplot(2, 2, 2);
pie(weights, criteria);
title('准则权重分布');% 3.3 S、R、Q值对比图
subplot(2, 2, 3);
bar_width = 0.25;
x = 1:num_alternatives;
bar(x - bar_width, S, bar_width, 'b', 'DisplayName', 'S (群体效用)');
hold on;
bar(x, R, bar_width, 'r', 'DisplayName', 'R (个体遗憾)');
bar(x + bar_width, Q, bar_width, 'g', 'DisplayName', 'Q (综合得分)');
hold off;
title('S、R、Q值对比');
xlabel('方案');
ylabel('值');
set(gca, 'XTick', 1:num_alternatives, 'XTickLabel', alternatives);
legend;
grid on;% 3.4 VIKOR排序结果
subplot(2, 2, 4);
barh(1:num_alternatives, Q_sorted);
title('VIKOR排序结果');
xlabel('Q值 (越小越好)');
ylabel('方案 (按排名)');
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives(sort_idx));
grid on;% 添加标签显示具体Q值
for i = 1:num_alternativestext(Q_sorted(i)+0.01, i, sprintf('%.4f', Q_sorted(i)), 'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'middle');
end%% 4. 输出结果
fprintf('\n===== VIKOR优化结果汇总 =====\n');
fprintf('\n1. 准则权重:\n');
for i = 1:num_criteriafprintf('   %s: %.2f\n', criteria{i}, weights(i));
endfprintf('\n2. 各方案评估结果:\n');
fprintf('   方案\t\tS值\t\tR值\t\tQ值\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   %s\t%.4f\t\t%.4f\t\t%.4f\n', alternatives{i}, S(i), R(i), Q(i));
endfprintf('\n3. VIKOR推荐排序:\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   第%d名: %s (Q值: %.4f)\n', i, alternatives{sort_idx(i)}, Q_sorted(i));
end% 检查是否满足VIKOR接受条件
if (Q_sorted(2) - Q_sorted(1) >= 1/(num_alternatives-1)) && ...(Q_sorted(1) == S_sorted(1) || Q_sorted(1) == R_sorted(1))fprintf('\n4. 接受条件检查: 方案 %s 为唯一最优妥协解\n', alternatives{sort_idx(1)});
elsefprintf('\n4. 接受条件检查: 存在多个妥协解或需进一步分析\n');
end

代码说明：

问题定义：
- 5个备选方案（供应商A-E）
- 5个评价准则：价格、质量、交货期、服务水平、环保性
- 准则权重：通过专家判断或AHP方法预先确定
- 准则类型："价格"为最小化准则，其余为最大化准则
- 妥协系数v：默认0.5，平衡群体效用与个体遗憾
VIKOR计算流程：
- 归一化处理：针对不同类型准则采用不同归一化方法
- 确定理想解和负理想解：对每个准则分别计算
- 计算S值（群体效用）和R值（个体遗憾）
- 计算综合得分Q值：融合S和R
- 排序：按Q值升序排列
可视化功能：
- 决策矩阵热图：直观展示原始数据
- 准则权重饼图：显示各准则重要性分布
- S、R、Q值对比图：横向比较各方案在不同指标下的表现
- VIKOR排序结果：按Q值从低到高展示
结果输出：
- 详细列出各方案的S、R、Q值
- 给出推荐排序结果
- 检查是否满足VIKOR接受条件（条件1和条件2）