酉矩阵（Unitary Matrix）和随机矩阵

先讨论酉矩阵（Unitary Matrix）的性质。

1. 酉矩阵定义

酉矩阵（Unitary Matrix）是复数域上的方阵，满足以下条件：

$U^* U = U U^* = I$
其中：

$U^*$ 是 $U$ 的共轭转置（即 Hermitian 转置， $U^* = \overline{U}^T$ ）。

$I$ 是单位矩阵。

特殊情形（实数域）：
如果 $U$ 是实矩阵，则 $U^* = U^T$ ，此时酉矩阵退化为正交矩阵（Orthogonal Matrix），满足：

$U^T U = U U^T = I$

2. 酉矩阵性质

酉矩阵具有以下重要性质：

可逆性
$U$ 可逆，且 $U^{-1} = U^*$

保内积
对任意向量 $x, y \in \mathbb{C}^n$ ，有：

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$
其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是标准 Hermitian 内积

保范数
$\| Ux \| = \| x \|$ ，即酉变换不改变向量的长度

特征值
酉矩阵的所有特征值 $\lambda$ 满足 $|\lambda| = 1$ ，即位于复平面的单位圆上。

行列式
$|\det(U)| = 1$ ，即行列式的模为 1。

列（行）向量正交性
酉矩阵的列（或行）向量构成一组标准正交基。

乘积封闭性
两个酉矩阵的乘积仍是酉矩阵。

3. 重要定理

谱定理（Spectral Theorem）
任何正规矩阵（ $A^* A = A A^*$ ）可被酉对角化：

$A = U \Lambda U^*$
其中 $\Lambda$ 是对角矩阵， $U$ 是酉矩阵。

QR 分解
任意矩阵 $A$ 可分解为：

$A = QR$
其中 $Q$ 是酉矩阵， $R$ 是上三角矩阵。

量子计算中的酉变换
量子门操作必须由酉矩阵表示，以保证概率守恒（即 $\|\psi\|^2 = 1$ 始终成立）。

4. 计算示例

例1：验证酉矩阵

验证矩阵 $U$ 是否为酉矩阵。

$U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}$

解：

计算共轭转置 $U^*$ ：

$U^* = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{bmatrix}$

计算 $U^{^*} U$ ：

$U^* U = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-i) \cdot i & 1 \cdot i + (-i) \cdot 1 \\ -i \cdot 1 + 1 \cdot i & -i \cdot i + 1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = I$

因此 $U$ 是酉矩阵。

例2：酉矩阵的特征值

求矩阵 $U = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ 的特征值。

解：

验证 $U$ 是实正交矩阵（实数酉矩阵）：

$U^T U = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = I$

特征方程为 $\det(U - \lambda I) = 0$ ：

$\det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda = \pm i$

特征值为 $i$ 和 $-i$ ，模均为 1，符合酉矩阵性质。

例3：量子计算中的酉矩阵

Hadamard 门是量子计算中的基本酉矩阵：

$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

验证 $H^* H = I$ （留作练习）。

5. 应用方面

量子力学中，酉矩阵描述封闭量子系统的演化。

信号处理里，离散傅里叶变换（DFT）矩阵是酉矩阵。

数值线性代数里，用于稳定化算法（如 QR 迭代法求特征值）。

接下来先看随机矩阵，再看随机矩阵与酉矩阵的关系。

6.随机矩阵（Stochastic Matrix）的定义

随机矩阵（也称为概率矩阵或马尔可夫矩阵）是指满足以下两个条件的非负实矩阵 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ：

行和为1（行随机矩阵）：

$\sum_{j=1}^n P_{i,j} = 1 \quad \forall i \in \{1, \dots, n\}$

元素非负：

$P_{i,j} \geq 0 \quad \forall i,j$

变体：

列随机矩阵：列和为 1（即 $P^T$ 是行随机矩阵）。

双随机矩阵：行和与列和均为 1。

7. 酉矩阵的元素模平方矩阵是否为随机矩阵

设 $U$ 是一个酉矩阵（ $U^* U = I$ ），定义矩阵 $S$ 为 $U$ 的元素的模平方：

$S_{i,j} = |U_{i,j}|^2$

问题： $S$ 是否一定是随机矩阵

7.1. 行和的性质

由于 $U$ 是酉矩阵，其列向量是标准正交的，因此：

$\sum_{i=1}^n |U_{i,j}|^2 = 1 \quad \forall j$

即 $S$ 的列和为 1（而非行和）。因此：

$S$ 的列和满足随机矩阵的条件，但行和不一定。

若 $U$ 的行向量也是标准正交的（即 $U$ 是双酉矩阵，如置换矩阵或 DFT 矩阵），则 $S$ 的行和也为 1，此时 $S$ 是双随机矩阵。

7.2. 验证

例子1：

考虑酉矩阵：

$U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

其模平方矩阵为：

$S = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

行和与列和均为 1，因此 $S$ 是双随机矩阵。

例子2：

考虑非双酉的酉矩阵：

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\theta} \end{bmatrix}$

其模平方矩阵为：

$S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

行和与列和均为 1，但这是特殊情况（对角酉矩阵）。

例子3：

一般酉矩阵的行和可能不为 1。例如：

$U = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}$

其模平方矩阵：

$S = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$

列和为 1，但行和也为 1（巧合）。更复杂的酉矩阵可能破坏行和条件。

7.3. 酉矩阵与随机矩阵的关系

$S$ 的列和恒为 1（因酉矩阵的列正交性），因此 $S^T$ 是行随机矩阵。

$S$ 的行和不一定为 1，除非 $U$ 的行向量也正交（即 $U$ 是双酉矩阵）。

若 $U$ 是双酉矩阵（如置换矩阵、DFT 矩阵），则 $S$ 是双随机矩阵。

7.4. 进一步讨论

量子力学中的概率解释

在量子测量中， $|U_{i,j}|^2$ 表示从状态 $j$ 跃迁到状态 $i$ 的概率，因此 $S$ 的列和必须为 1（概率守恒）。

双随机矩阵与 Birkhoff-von Neumann 定理

双随机矩阵可分解为置换矩阵的凸组合，而酉矩阵的模平方矩阵若为双随机，则对应量子通道的“均匀混合”性质。

非双酉矩阵的例外

若 $U$ 的行向量不正交（如随机生成的酉矩阵）， $S$ 的行和可能不为 1，此时 $S$ 仅是列随机矩阵。

最终答案
不一定。酉矩阵 $U$ 的模平方矩阵 $S = [|U_{i,j}|^2]$ 总是列随机矩阵（列和为 1），但仅当 $U$ 的行向量也正交时（即双酉矩阵）， $S$ 才是（行）随机矩阵。

典型双酉矩阵（如 Hadamard 矩阵、DFT 矩阵）的 $S$ 是双随机矩阵。

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