一、相似

Every matrix $C=B^{-1}AB$ has the same eigenvalues as A. These C’s are similar to A.

任意一个矩阵C，满足 $C=B^{-1}AB$ 都和A有着相同的特征值。C 和 A 是相似的。

相似具有：

• 自反性
• 对称性
• 传递性

All the matrices $A=B^{-1}CB$ are “similar”，They all share the eigenvalues of C.

所有满足 $A=B^{-1}CB$ 的矩阵都是相似的，他们的特征值相同。

证明：
$$\begin{array}{rl}& 如果Cx=\lambda x,则BC{B}^{-1}有特征值同样为\lambda 的特征向量Bx\\ & 事实上，(BC{B}^{-1})(Bx)=\lambda (Bx)\\ & 同理可证A的特征值都是C的特征值\end{array}$$
如果矩阵A 和 B 均可相似对角化，那么我们可以轻松判别二者是否相似。

那么不可对角化的情况呢？

二、若尔当型

1.1 认识若尔当型

(Jordan form) If A has s independent eigenvectors, it is similar to a matrix J that has s Jordan blocks $J_1,...,J_s$ on its diagonal. B contains “generalized eigenvectors”:

若尔当型(Jordan form)：如果A 有s 个线性无关的特征向量，那么 A 相似于矩阵J，J的对角线上有 s 个 若尔当块$J_1,...,J_s$，矩阵B包含了**“广义特征向量”**。

广义特征向量定义如下:

一个向量 $v$ 是对应于特征值 $\lambda$ 的广义特征向量，如果它满足： $$(A-\lambda I{)}^{k}v=0$$ 对于某个正整数 $k\ge 1$ 成立。

当 $k>1$ 时，我们得到了一系列向量，它们构成一个若尔当链 (Jordan Chain)。

一个长度为 $k$ 的若尔当链由向量 $v\_1,v\_2,\dots ,v\_k$ 构成，它们满足： $(A-\lambda I)v_k=v_{k-1}$

• 所有的特征向量都是广义特征向量，但并非所有广义特征向量都是特征向量。
• k 是使该零空间维度达到最大并稳定的最小整数（也就是 λ 对应的最大若尔当块的阶数）。
• 特征空间完全包含在广义特征空间之中。
• 如何求解$v_k$ =>只需找到$k => v_k = N(A - \lambda I)^{k} \setminus N(A - \lambda I)^{k - 1} $

A 的若尔当型：
$$\text{ Jordan form of }A{B}^{-1}AB=\left[\begin{array}{lll}{J}_1& & \\ & \ddots & \\ & & J_s\end{array}\right]=J$$
每一个若尔当块 $J_i$ 主对角线上都是特征值 ${\lambda }_i$，主对角线上方恰有1个1.
$$\text{ Jordan block in }J{J}_i=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & \\ & \cdot & \cdot & \\ & & \cdot & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right]\text{. }$$
一个 $k\times k$ 的若尔当块 $J\_k(\lambda )$ 就对应一个长度为 $k$ 的若尔当链。将这些若尔当链的所有向量集合在一起，就构成了若尔当基 (Jordan Basis)，也就是相似变换矩阵 $B$ 的列向量。

一些性质：

• 每一个矩阵都相似于一个若尔当型。
• 若尔当块的数目等于线性无关特征向量的个数(几何重数)。

如何求解若尔当型？

无需求解相似变换矩阵B

只需要知道每个特征值对应的若尔当块的数量和大小。

步骤如下：

1. 求解所有特征值，以及其代数重数（代数重数是指特征值作为特征方程根的重数）。
2. 对每一个特征值 ${\lambda }_i$ 单独分析，假设特征值 $\lambda$ 的代数重数是 $m$。这意味着与 $\lambda$ 相关的所有若尔当块的阶数之和必须为 $m$，关键在于确定块的数量和各自的大小：
   1. 若尔当块的数量： 对应于特征值 $\lambda$ 的若尔当块的数量，等于该特征值的几何重数 (Geometric Multiplicity)(即线性无关特征向量的个数)。
   2. k阶若尔当块的数量：$rank((A-\lambda I{)}^{k-1})+rank((A-\lambda I{)}^{k-1})-2rank((A-\lambda I{)}^k)$

至此，我们了解了若尔当型，并且得出 A 和 B 相似的充要条件是 A和B 有着相同的若尔当标准型。

1.2 凯莱-哈密顿定理 (Cayley-Hamilton Theorem)

凯莱-哈密顿定理 (Cayley-Hamilton Theorem)：每一个n阶方阵 A，都满足其自身的特征方程。
$$\begin{array}{rl}& 记p(\lambda )=det(A-\lambda I)\\ & 展开：p(\lambda )=\sum _{i=0}^n{c}_i{\lambda }^i\\ & 定理称：p(A)=\sum _{i=0}^n{c}_i{A}^i=0\end{array}$$
证明：
$$\begin{array}{rl}设A& =PJ{P}^{-1}(若尔当型)\\ A^k& =P{J}^k{P}^{-1}\\ p(A)& =\sum _{i=0}^n{c}_i{A}^i\\ & =\sum _{i=0}^n{c}_{i}P{J}^i{P}^{-1}\\ & =P(\sum _{i=0}^n{c}_i{J}^i)P^{-1}\\ & =Pp(J)P^{-1}\\ 由于，p(\lambda )& =det(A-\lambda I)=det(J-\lambda I)（相似矩阵具有相同的特征方程）\\ 可写成& :p(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{a_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{a_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{a_k}\cdots ,{\alpha }_k为代数重数\\ 则有& :p(J_k)=(J_k-{\lambda }_{1}I{)}^{a_1}\cdots (J_k-{\lambda }_{k}I{)}^{a_k}\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& 我们来仔细分析其中的一个关键因子：(J_k-{\lambda }_{k}I)。\\ & J_k-{\lambda }_{k}I=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& & 0\\ & 0& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0& & & 0\end{array}\right)\\ & 这是一个幂零矩阵N_{m\times m},满足N^m=0\\ & 而m\le 代数重数=\alpha \\ & 故p(J_k)=0,定理得证\end{array}$$
一个比较实用的应用：求解矩阵的逆
$$\begin{array}{rl}& p(\lambda )={\lambda }^2-6\lambda +5\\ & A^2-6A+5I=0\\ & 5I=6A-A^2\\ & 5A^{-1}=6I-A\\ & A^{-1}=\frac{6I-A}{5}\end{array}$$