圆方树

引入

我们注意到，树结构相比普通图具有诸多优良特性。若能将在无向图上求解的问题转化为树结构问题，往往能大幅简化求解过程。圆方树正是实现这一转化的有效工具。

定义

我们称原图中的点为"圆点"。通过引入方点并调整边的关系，可以构造出一棵树。通过合理赋权，使这棵树能够保持原图的某些特性，从而将原问题转化为树上的问题。具体构建过程如下：对于每个点双连通分量，首先删除其中所有圆点之间的直接连接边。然后为该点双新增一个方点，并将该点双内的所有圆点都与这个方点相连。这样构建出的图是一个无环的连通图，即所谓的圆方树。构建过程本身并不复杂，只要掌握点双连通分量的求法即可完成。而难点在于：如何恰当设置权值，使得在圆方树上能够求解原问题。

代码

void tarjan(int u, int fa) {low[u] = dfn[u] = ++tot;sta.push(u);for (auto v : ve[u]) {if (v == fa) continue;if (!dfn[v]) {tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {      // 发现点双int now = 0;sid++;    // 方点id，初始值为nvn[u].push_back(sid);    //建双向边vn[sid].push_back(u);while (now != v) {now = sta.top();vn[now].push_back(sid);    //建双向边vn[sid].push_back(now);sta.pop();}}} else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}
}

例题

铁人两项
给定一张无向图，问有多少互不相同三元组<$a$, $b$, $c$>
使得存在一条从 $a$ 到 $b$ 经过 $c$ 的简单路径。

题解

在同一个点双连通分量中，任意两点之间的所有简单路径的并集恰好构成该点双。对于任意两点，其简单路径所经过的点集可表示为路径上各点双的并集。在圆方树模型中，该点集对应为： 两个圆点路径上的所有圆点和路径上方点相邻的所有圆点 。由于限制条件 $c\ne a$ 且 $c\ne b$，最终答案为该点集大小减 2。 具体实现时，考虑圆方树上的权值设计： 将方点权值设为相邻圆点数量，并将圆点权值设为 -1（避免相邻方点重复计算），而路径端点不计入贡献。这样，圆方树上两圆点间路径的点权和即为所求答案。问题转化为统计树上所有圆点对的路径权值和，可通过树形 DP 计算每个点的贡献（点权 $\times$ 经过该点的路径数）来高效求解。