位结构

float 各部分的含义

• 符号位：
  • 为 0 表示正数，为 1 表示负数。
• 指数部分：
  • 指数部分是一个移码。
  • 指数部分有 8 位，首先当成无符号整型，则值域是 [0, 255] .
  • 因为是移码，所以 移码值 = 无符号整型值 - 127 则移码值的值域为 [-127, 128] .
  • 但是浮点的指数部分不是标准的移码，没有 -127 这个值。当指数部分全 0 时，标准移码的值是 -127, 但是浮点中把它当成 -126, 表示非规格化数。
  • 在规格化数中，指数部分的无符号整型值减去 127 就是实际的指数值。
  • 在非规格化数中，指数位全为 0，指数值为 -126，不再是指数部分的无符号整型值减去 127.
  • 此外，当指数部分的所有位都为 1 时，不再是表示具体的小数值，而是表示 无穷、NaN 这种抽象的值。指数部分全 1 时，标准的移码值是 128, 但是浮点中表示抽象值。所以浮点的指数部分在表示具体的小数时的指数值的值域为 [-126, 127].
• 尾数部分：
  • 尾数部分有 23 位，是一个无符号整型。

double 各部分的含义

• 符号位：
  • 为 0 表示正数，为 1 表示负数。
• 指数部分：
  • 指数部分是一个移码。
  • 指数部分有 11 位，首先当成无符号整型，则值域是 [0, 2047] .
  • 因为是移码，所以 移码值 = 无符号整型值 - 1023 则移码值的值域为 [-1023, 1024] .
  • 但是浮点的指数部分不是标准的移码，没有 -1023 这个值。当指数部分全 0 时，标准移码的值是 -1023, 但是浮点中把它当成 -1022, 表示非规格化数。
  • 在规格化数中，指数部分的无符号整型值减去 1023 就是实际的指数值。
  • 在非规格化数中，指数位全为 0，指数值为 -1022，不再是指数部分的无符号整型值减去 1023.
  • 此外，当指数部分的所有位都为 1 时，不再是表示具体的小数值，而是表示 无穷、NaN 这种抽象的值。指数部分全 1 时，标准的移码值是 1024, 但是浮点中表示抽象值。所以浮点的指数部分在表示具体的小数时的指数值的值域为 [-1022, 1023].
• 尾数部分：
  • 尾数部分有 52 位，是一个无符号整型。

值计算公式

float 的值计算公式

规格化数的值：
$$\text{value}=(-1{)}^{\text{sign}}\times 2^{\text{exponent}-127}\times \left(1+\frac{\text{mantissa}}{2^{23}}\right)$$

非规格化数的值：
$$\text{value}=(-1{)}^{\text{sign}}\times 2^{-126}\times \left(\frac{\text{mantissa}}{2^{23}}\right)$$

double 的值计算公式

规格化数的值：
$$\text{value}=(-1{)}^{\text{sign}}\times 2^{\text{exponent}-1023}\times \left(1+\frac{\text{mantissa}}{2^{52}}\right)$$

非规格化数的值：
$$\text{value}=(-1{)}^{\text{sign}}\times 2^{-1022}\times \left(\frac{\text{mantissa}}{2^{52}}\right)$$

浮点特殊值

NaN

• 指数部分所有位都为 1.
• 尾数部分不为 0.

正无穷、负无穷

• 指数部分所有位都为 1.
• 尾数部分所有位都为 0.

则根据符号位来确定是正无穷还是负无穷。符号位为 0 则是正无穷，符号位为 1 则是负无穷。

总结

只要指数部分所有位都为 1, 这个浮点数就不再是具体的小数值，而是 NaN, 无穷 这种抽象的概念。