一、反函数求导的核心公式

若函数 y = f(x) 在区间 I 上严格单调、可导，且其导数不等于0，则其反函数的导数为：

若以 x 为自变量，则公式变形为：

几何意义：反函数与原函数关于 y = x 对称，其导数互为倒数关系。

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二、公式的严格条件与推导

1. 存在条件（缺一不可）：

   •  f(x)在开区间 I上严格单调且连续；
   • f(x) 在 x0 处可导，且这一点导数不为0 。

2. 推导过程（基于链式法则）：

   

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三、经典例题解析

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四、高阶导数与易错点

1. 二阶导数公式：

   

   注意：二阶导数并非一阶导数的简单倒数。

2. 常见错误：

   • 混淆变量：如将  与  的导数直接相乘)；
   • 忽略定义域：例如 y = x^2 需限定 x ≥ 0  才可逆；
   • 误用对称性：图像对称不直接保证导数存在（需验证可导条件）。

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五、实际应用场景

1. 参数方程求导：

   

2. 工程优化：
   如船舶锚泊系统中，通过位移响应模型求反函数，快速计算锚索长度调整量。

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六、总结

关键要点	说明
核心公式
单调可导条件	保证反函数存在且可导
变量一致性	严格区分原函数与反函数的自变量
应用扩展	参数方程、隐函数、优化控制